函数的最值问题在实际问题中的应用研究

陈影影

（上海电机学院文理学院，上海 201306）

解决现实生活中一些问题，例如：在一定条件下，如何使“材料最省”“利润最大”“成本最低”等，想要解决这类问题，可以通过研究各个变量之间的关系，建立相应的函数关系式，并进一步研究该关系式的最值问题。函数的最值问题在多个科学领域中都有很广泛的应用，这就需要把实际遇到的问题，抽象成各个变量之间的函数关系，并进一步转化成微积分学里的求最值问题来解决，所以，对函数最值问题以及对最值问题应用的研究有着非常重要的意义。

1 最值定理

如果函f（x）在区间[a，b]上连续，那么f（x）在[a，b]上一定能够取到最大值和最小值。

如图1所示，定理1 说明，如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，那么至少有一点x1∈[a，b]，使f(x1)是f(x)在[a，b]上的最大值，即对一切x∈[a，b]，均有f（x1）≥f（x）成立；又至少有一点x2[a，b]，使f(x2)是f(x)在[a，b]上的最小值，即对一切x∈[a，b]，均有f（x2）≤f（x）成立。

图1 函数图

2 方法步骤

对于闭区间上连续的函数f（x）来说，其最大值和最小值一定存在。如果最大值或最小值在区间（a，b）内部取得，那么它一定也是极值，而极值只可能在f（x）的驻点或导数不存在的点取得。当然最大值或最小值也有可能在区间的端点出取得，这时最大值或最小值就不一定是极值。因此，求函数f（x）在[a，b]上的最值（最大值或最小值）的方法与步骤如下。

（1）求出f（x）所有可能极值点的函数值，并将这些函数值与端点处的函数值f（a），f（b）做比较，比较之后这些值中所得到的最大值就是所求的最大值，所得到的最小值就是所求的最小值。

（2）对于闭区间[a，b]上的连续函数f（x）来说，倘若在这个区间的内部只有唯一的一个可能的极值点，并且f（x）在这一点的确存在极值，那么，这个唯一的极值点就是所求的函数在[a，b]上的最值点。

实际问题求最值应注意如下内容。

（1）建立目标函数；（2）求最值。

若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大值（或最小值）。

3 应用举例

3.1 最值问题在物理学中的应用

函数最值问题也经常被用来解决物理学中的一些问题。

图2 最值问题在物理学中的应用

令φ（α）=cosα+μsinα，

则问题转化为求φ（α）的最大值问题。

φ'（α）=-sinα+μcosα，α"（α）=-cosα-μsinα，

令φ'（α）=0，解得α=arctan μ=arctan 0.25=14°2'，而φ"（α）＜0，所以α=14°2' 时φ（α）取最大值，因而取最小值。

最值问题在经济活动中也有非常广泛的应用，以下举例说明。

3.2 费用最省

例：公路上A，B 两点间的长度是100 km，点C 和A 为20 km，AC⊥AB，现在要在A，B 两点之间确定一点D，在D 和C 之间修一条新公路，已知公路AB 与公路CD 每公里货运价之比为3∶5，把货物从B 处运到C处，问D 点应该如何确定才能使总运费最省(见图3)?

图3 费用最省问题图

3.3 利润最大

例：一工厂生产x 千件某种产品的成本是C（x）=x3-6x2+15x，而卖出这种产品的收入是R（x）=9x，问该工厂该如何生产才能使利润最大(见图4)？

图4 利润最大问题图

解：售出x 千件产品所得的利润表达式为

p（x）=R（x）-C（x）=-x3+6x2-6x，

两端求导得

p'（x）=-3x2+12x2-6=-3（x2-4x+2）。

3.4 经济批量问题

例:一个商场每年卖出某种商品a 件，共分为x 次进行批货。每次批货的费用为b 元，而没能及时卖出的商品需库存，库存的费用为c 元/（年·件）。假设卖出商品是均匀的，问分多少批进货时，才能使以上两种费用的综合为最省？ （a，b，c 为常数且a，b，c>0）

解：根据题意，x 次批货的总费用为

W1（x）=bx。

3.5 梁的抗弯截模量最大

例：把一根原木用锯锯成矩形的梁，原木的直径为，为了使矩形梁的抗弯截面模量达到最大，问应如何确定矩形截面的长和宽（见图5）？

解：设矩形截面的长为h，宽为b。由力学知识知，梁的抗弯截面模量为

图5 梁的抗弯截面模量最大问题图

由题意知，当时，可以使矩形梁的抗弯截面模量达到最大。

3.6 用料最省

例：设计固定体积圆柱形饮料罐，罐的侧面和底部是用整块材料制成的，顶部盖子的厚度是侧面或底部的三倍，为了使总用料最省，应如何设计它的底面半径r 和高度h？

解：饮料罐的体积记为V，设饮料罐身的侧面和底部厚度均为δ，那么顶盖的厚度是3δ，高

所以，饮料罐侧面和底部总用料为U1（r）=δ（πr2+2πrh）=δ（πr2+），

顶盖的用料为U2（r）=3δπr2，因此问题转化为求函数

U（r）=U1（r）+U1（r）=δ（4πr2+），r∈（0，+∞）的最小值。

所以r0是U（r）的最小值点。这时相应的高为

即，当h=2r 时，用料最省。

4 结语

文章对最值定理及最值的计算方法做了简单的介绍。不仅举例说明了最值问题在物理计算中的应用，也分类讨论了在经济学领域里对最值定理及计算方法的应用。由此可知，在解决实际问题时对函数最值问题的应用非常的广泛。