数学物理方法与理论物理专业课程的融合衔接性研究

[摘 要]数学物理方法是高校理工科专业的一门专业必修课，对学生后续理论和专业课程的学习以及创新思维和应用能力的培养都具有非常重要的作用。文章重点研究数学物理方法与后续理论物理专业课程之间的融合衔接，为适应新时期的教学特点和要求，不断提高课程的教学质量和效果，提出了一些数学物理方法教学改革的建议。

[关键词]数学物理方法;理论物理;专业课程;融合衔接

[基金项目]2020年中山大学校级本科教学质量类工程项目“数学物理方法和专业课程的衔接研究”（76180-31911131）

[作者简介]余招贤（1964—），男，湖北黄冈人，凝聚态物理博士，中山大学材料学院副教授，主要从事大学基础物理和数学的教学工作。

[中图分类号] G642.0[文献标识码] A[文章编号] 1674-9324（2020）46-0-03[收稿日期] 2020-08-27

数学物理方法是高等院校理工科普遍开设的一门专业必修课，它既是高等数学、线性代数等基础数学课程的延续，又是在普通物理基础上进一步学习理论物理和高级专业课程的前提和准备，在大学基础和专业课程中起到承前启后的融合衔接作用。数学物理方法顾名思义是数学和物理的融合，是连通基础和专业的桥梁，是在专业学习中解决和探索各种科学问题的知识库，所以数学物理方法的教学目标就是要重点介绍物理学中常用的数学方法[1，2]，包括如何把各种现实的物理问题转换成数学物理方程的定解问题，掌握求解这些定解问题的基本方法和技巧。通过数学物理方法的学习不仅要为学生学习后续专业课程提供足够的数学储备，更重要的是培养学生综合运用数学和物理思想解决实际问题的能力，长远目标则是开拓创新思维的培养和高端创新人才的培育。

数学物理方法的中心主题是数学和物理，如何处理好数学和物理的关系，始终是一个关键中的关键问题。虽然数学物理方法的着力点看似在数学，但它与理论物理学的四大力学和许多进阶专业课程息息相关，凸显其在理论物理和专业课程中的基础地位。只有学好数学物理方法，学生在四大力学和专业课程的学习中才能够聚焦物理，得心应手，事半功倍，否则将举步维艰，难以顺利完成四大力学和其他高级专业课程的学习任务。另外，数学物理方法尤其是数学物理方程在培养学生的数学运算能力、理论分析能力和创新思维能力方面具有至关重要的作用，所以说数学物理方法的教学效果直接关系能否培养出高质量的大学生和创新人才。由于数学物理方法的课程特点，它既与大量物理问题密切相关，同时又涉及广泛的数学知识，加之教学时数限制，导致本课程被大家公认为大学本科阶段教和学难度最高的课程之一。同时我们也要看到，在长期形成的数学物理方法教学中还存在一些突出问题，例如教学内容多而繁杂，部分内容有点过时，与现今的理论和专业课程体系脱节，导致内容与学时冲突;教学模式比较单一，教学方法比较陈旧，学生普遍畏难，教学效果欠佳[3，4]。如何改革这门难教难学的课程，如何使数学物理方法与后续课程更好地衔接，如何使教学内容更加适应现代化专业人才培养的需要，我们结合物理和材料专业的特点，针对教学实践中出现的上述问题，对数学物理方法课程的教学内容与教学方法进行了实践和探索。

一、数学与物理的关系

对材料和物理专业来说，数学物理方法决不能简单当作一门数学课程进行教学，因为它不仅是数学课程，更应该看作是数学物理交叉课程。在组织数学物理方法教学时，可以首先确定两条平行主线。第一条是物理的主线，就是把物理分析始终渗透到课程的各个教学环节中。作为具有物理背景的教师，在进行数学物理方法的教学过程中，切忌花费太多时间和精力在数学公式证明和运算之上，应该更多地强调和挖掘课程的物理内涵，充分考虑材料和物理专业的培养目标和课程设置，在确保数学知识完整性和准确性的基础上，加强对运用数学知识处理实际问题的物理背景的阐述，侧重物理思想和数学方法之间的有效融合，强调最终得到问题解和结论的物理意义。另外一条教学主线，可以考虑以本征值本征函数为核心进行课程串联，因为本征值本征函数和函数按本征函数展开的思想在数学物理方程中有着广泛的应用。例如求解数学物理方程定解问题的主要方法是分离变量法，而分离变量法的核心思想就是求解本征值，在不同的坐标系中有完全不同的本征值问题，得到的本征函数包括三角函数、勒让德函数、贝塞尔函数、球函数等，这些本征函数具有正交性、完备性和归一性。在此基础上对各种数理方程定解问题的求解都变成顺理成章的事情了，只要熟练掌握本征值本征函数以及函数按本征函数展开这些知识点，对于学好用好数学物理方程解决各种物理问题都有巨大的帮助，这样我们的教学内容和方法不仅有清晰的主线，而且符合物理和数学彼此相长的融合关系。

在确定教学主线的前提下，对于具体教学内容的增减，都要以处理好数学和物理的关系为原则。例如在介绍解析函数的时候，除了因为它在复变函数中的核心地位之外，还要特别强调它在表达无源无旋平面场的特殊优势，使其能够简单高效地处理电磁学、流体力学等相关平面场问题。在介绍复变函数留数定理时，不仅要阐明它在复变函数积分和广义积分计算中的重要作用，更要突出它能够解决这些反常积分大多来源于物理各学科，对它们的定量和解析计算非常有益于理论分析和研究。数学物理方程就是物理规律的数学表达，它往往反映的是此点此时刻的物理量与其临近点和临近时刻物理量之间的联系，在数学上体现出来的就是微分或偏微分方程，这些方程能够描述一大类广泛物理现象的共性。在教学中重点介绍波动方程、输运方程和稳定场方程三大类经典數学物理方程。这里首先要使学生明白为什么要学习这三类方程，在推导这些方程时不必强调数学建模方法，必须要强调的是隐藏在方程后面的物理背景和物理规律，为了简化问题的复杂性而忽略了哪些次要的因素，从而得到了简单而又不失代表性的方程。例如张紧的一维均匀柔软弦的横向振动，一维均匀弹性杆的纵向振动都满足一维波动方程，二维均匀薄膜的自由横向振动则满足二维波动方程，声波和水波同样满足三维波动方程。根据麦克斯韦电磁理论，真空或介质中变化的电场和磁场可以相互激发，自然形成由波源向外传播的电磁波，它们当然也满足三维波动方程。所以说波动方程描述了大量的物理现象，本质上都是表示物理量的振动状态的传播，这些物理现象和过程都有一定的共性，满足相同形式的波动方程，所以在数学物理方程中介绍波动方程及其解法具有非常重要的理论和现实意义。在教学中我们一定要讲清楚数学和物理的关系，使学生明白这里的数学源自物理问题，是为解决物理问题而引进的，是物理中的数学。

二、与专业课程的关系

数学物理方法作为数学联系物理、材料、工程和技术等学科的桥梁，不仅是理工科学生进一步学习各种专业课程的必备基础，也是培养学生运用数学和物理知识解决实际问题关键能力的重要途径。数学物理方法既涉及大学初级课程，如高等数学和普通物理，又与后续高级课程理论物理四大力学等密切相关，对这门课程的学习效果如何，将直接影响到理论物理和专业课程的学习能否顺利完成，也关系到学生运用理论知识定量分析和解决问题的能力培养。

首先，数学物理方法是普通物理和四大力学的黏合剂。普通物理的力学、热学、电磁学、原子物理升级到理论力学（分析力学）、热力学和统计物理、电动力学和量子力学，不仅是物理规律的总结和提高，更多表现出来的是数学工具的升级。简单统计一下就可以看到四大力学的数学清单：调和函数、级数展开、广义积分、留数定理、数理方程、分离变量法、格林函数法、正交曲线坐标系、泛函与变分、傅里叶变换、拉普拉斯变换、δ函数、特殊函数等。这些在四大力学中频频出现的数学知识必须作为数学物理方法的核心内容保留，它们是理论物理课程的数学基础和必要工具。

其次，除了四大力学之外，还要处理好数学物理方法与后续专业课程之间的关系，以更全面更专业的视角处理教学内容，需要了解本专业后续课程的数学使用情况，根据后续专业课程的特点适当补充和删减教学内容是极其重要的。把数学物理方法中的知识与其他课程的内容紧密联系起来，针对学生们不明白这些数学知识与物理有哪些关系的困惑，我们在对物理学和材料专业的学生授课中讲到解析函数中的实部和虚部可以代表物理中的平面场，介绍拉普拉斯方程和泊松方程时，强调它们可以用来描述电动力学中的静电场和静磁场问题，这些方程可用分离变量法、格林函数法、电象法对其进行求解和研究。在介绍输运方程时，指明它不仅能够描述物质和热量的扩散，而且由于扩散方程的形式和量子力学的薛定谔方程很相似，所以它的解法同样可以推广至量子力学方程的求解。这样学生们清楚地认识到，这不只是一门单纯的数学课程，以后他们有能力也有必要把数学物理方法中学到的知识应用到其他课程的学习当中，顺利完成大学阶段的学习任务就有了坚实基础。

三、与高等数学的关系

学习数学物理方法对高等数学知识有着较高的要求，首先检验的就是学生的高等数学基础是否全面和扎实，对于基础薄弱的部分应该补充和加强，特别是那些因为各种原因被淡化甚至忽略的知识，在数学物理方法的学习中可能是必不可少的重要工具。例如傅里叶级数在高等数学中可能只是简单提及，但在分离变量法求解数学物理方程的定解问题时，由于本征函数往往是三角函数，根据定解条件定解时，需要将函数按本征函数展开为无穷级数，即标准傅里叶级数。即使本征函数不是三角函数，而是勒让德函数、贝塞尔函数之类的其他函數，这种函数按本征函数展开的方法仍然适用，这时可称为广义傅里叶级数，所以傅里叶级数所对应的三角函数系是更广泛的本征函数系的一个特例，它们都具有本征函数的正交归一和完备性，从这个角度理解和加强学生对傅里叶级数的认识和应用是非常必要的。另外为了得到本征值和本征函数，求解本征值问题是关键，其核心就是求解常（变）系数微分方程，所以不仅要对高数中未能重视的常系数微分方程求解复习和巩固，还要对一些特殊变系数微分方程的解法予以特别重视，例如勒让德方程、贝塞尔方程和欧拉方程等。另外还可以补充一些非齐次微分方程的解法和应用。通过对上述高数知识点的补充和加强，可以使学生在学习数学物理方程的过程中克服学习恐惧，事倍功半，尽快地进入到数学物理方法的正常学习状态。

四、与多媒体教学的关系

数学物理方法是一门难度较高的专业课程，因其公式繁多，计算复杂，内容广泛，抽象晦涩，学生怕学，教师难教，对教和学都是一个挑战。在传统教学方法中一般采用教师板书为主，学生记录笔记以备课后之需。这种教学方式有其优势，教师能够突出重点，学生有足够的时间消化课堂内容，当然缺点也是明显的，就是课堂效率不高，课程进度缓慢，在理论课时普遍压缩的大环境下，矛盾尤其突出。随着计算机和互联网技术的普及应用，多媒体教学已经成为新的潮流，它具有信息丰富，图文并茂，互动性强等优点，大大提高教学效率，为课堂教学改革开辟了新的路径，理所当然地受到越来越多老师和学生的欢迎。不过我们也要清醒地认识到，多媒体教学有利有弊，特别是在数学物理方法的教学过程中如何适度使用多媒体，是一个值得认真探讨和实践的问题。

首先，需要研究在数学物理方法中哪些特定内容适合多媒体教学，才能达到理想的学习效果。具体考虑就是把数学软件Matlab，Mathcad等引入教学，可以将课程中一些抽象的理论结果和复杂公式等借助数值和图形演示出来。例如分离变量法得到的解析解，一般都是非常复杂的无穷级数，很难直接看清它的变化趋势和物理意义，如果通过数值计算和图形技术把结果直观地演示，不仅能够帮助学生理解和接受解的物理意义，还有助于引导学生的形象思维和节省板书时间。再如应用分离变量法求解数学物理方程得到的都是解析解，分离变量法适用的情况毕竟是有限的，更多的情况是我们无法得到解析解。这时候我们还可以利用数学软件自带的强大计算功能，只要输入方程和定解条件，就可以快速得到数学物理方程的近似解，并且在屏幕上把解的图像直接呈现，使学生了解解析解和近似解的区别和用途。

其次，考虑到本课程注重培养学生逻辑推理能力和分析问题的能力，所以对一些重点和难点内容，还是要结合较多的板书推算，否则教学效果是不理想的。多媒体教学的最大短板就是学生在课堂上接收信息太多太快，记忆和理解时间太短，思维无法跟上课堂节奏，课后也不能很好地消化吸收，使多媒体教学的效果大打折扣。为了克服多媒体教学的不足，板书在数学物理方法课堂上仍然不能缺席，教师在使用多媒体教学时，同步配合板书讲解重点和难点，强化学生对重点内容的理解与掌握还是非常必要的。

五、结论

本文重点讨论了数学物理方法教学中的几个热点问题，包括数学和物理的关系，数学物理方法与理论物理、高等数学、其他专业课程的衔接。通过多学期理论物理和数学物理方法的教学实践，初步确定一套符合现代科学技术人才培养的专业需要，满足后续理论物理和专业课程的数学需求，与现时的教学时数相适应的教学方案。同时引進数学软件和多媒体技术制作部分内容课件和演示，结合传统板书讲解重点难点，以期达到良好的教学效果和效率。

参考文献

[1]梁昆淼.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]周明儒.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]喻远琴，陈寿万.新形势下数学物理方法教学模式改革探索[J].合肥工业大学学报（社会科学版），2013，27（05）：129-132.

[4]赵佩，王晓辉，金康，等.物理学基地班“数学物理方法”课程教学改革探索[J].高等理科教育，2014（03）：107-113.

Abstract： Methods of Mathematical Physics is a required course for science and engineering majors in colleges and universities， which plays an important role in the study of students' subsequent theoretical and professional courses， as well as the cultivation of innovative thinking and application ability. This paper focuses on the integration and connection of Methods of Mathematical Physics and subsequent theoretical physics courses. In order to adapt to the teaching features and requirements of the new era and constantly improve the teaching quality and effect， this paper proposes some ideas and suggestions on the teaching reform of the course of Methods of Mathematical Physics.

Key words： Methods of Mathematical Physics; theoretical physics; professional courses; integration and connection