利用导数工具确定函数分类讨论的“界点”

金涛

【摘要】我们利用导数工具求解曲线切线方程、函数单调性、极值、最值以及含参问题时都要确定分类讨论的“界点”.本文从三个方面论述上述观点，解决学生在此方面的困惑，从而达到举一反三的效果.

【关键词】导数;解决;分类讨论的“界点”

导数在函数中的应用较广泛，通常用来解决求曲线切线方程（或已知曲线切线方程求参数）、函数的单调性、函数的极值 、最值等基础问题.高考试题常常出现利用导数证明不等式、利用导数解决已知单调区间或极值求参数的取值范围以及函数零点等问题，并常常渗透着分类讨论等数学思想.下面笔者就如何利用导数工具确定函数分类讨论的“界点”谈几点方法.

一、根据一元二次函数的二次项系数来确定分类讨论的“界点”

导函数中含有二次三项式，需对最高项的系数分类讨论：

（1）根据一元二次函数二次项系数是否等于0，判断该函数为二次函数.

（2）由二次项系数的正负，判断二次函数图像的开口方向，从而寻找导数的变号零点.

若不能确定导函数零点是否分布在定义域内，零点将定义域划分为哪几个区间，则需要分类讨论.本题可根据函数h′（x）的零点a是否在定义域[1，2]内进行讨论，然后利用导数的工具性得到函数在给定区间内的单调性，从而得到最值，判断所求最值与已知条件是否相符，从而得到参数的取值范围.

总之，导數工具在函数方面的运用很普遍，笔者在平时的教学中也特意引导学生注重对函数的分类讨论的“界点”的探究.本文主要从一元二次函数的二次项系数确定分类讨论的“界点”;二次函数的判别式确定分类讨论的“界点”;导函数零点的大小确定分类讨论的“界点”;导函数零点与定义域的关系确定分类讨论的“界点”这四方面进行探究，但愿有益于各位.