高等数学教学过程中数值计算的引介——以积分为例

任泽民 李庆玉 黎 彬

（重庆科技学院数理与大数据学院 重庆 401331）

一、现状分析

高等数学是各理工和财经专业必修的公共基础课，在学生培养中具有重要地位。如何教好高等数学成为许多高校急需解决的难题。目前，教学现状主要有：1.学生学习积极性不高，基本理论掌握不扎实；2.数据表明，高等数学考试卷面成绩不及格率居高不下；3.学生不能运用高等数学解决实际问题。本文拟从第三点出发，探索高等数学的教学改革，主要措施是教学中融入数值计算思想。数值计算是计算数学和大数据技术的重要工具[1]。当今，大部分高校开展的高等数学是按照传统的课程体系进行授课的。我们在传统体系的基础上，将数值分析的一些基本知识作为学生的拓展训练材料，引导学生去思考。笔者拟以定积分为例开展教学探索。

二、实例分析：定积分与数值积分

定积分是高等数学课程中重要的基本概念[2]，在实际中具有重要的价值。在划分、求和、取极限等过程后，定积分可以表示为。定积分的计算方法有很多种，主要包括定义方法、换元方法和分部积分方法。积分中值定理是这些方法的理论基础。具体内容为：如果函数在区间[a，b]上连续，则在该区间上至少存在一点使得。此理论无论在高等数学还是在数值分析课程中都具有重要的地位。在高等数学课程中，定积分的计算主要基于牛顿—莱布尼茨方法。该方法需要找到被积函数的原函数。这一点在实际问题求解过程中是十分困难的，原因主要有：1.被积函数的原函数不能利用初等函数进行表达；2.通过传统方法计算出的原函数表达形式复杂，难于计算。在这种情况，我们应该考虑数值方法进行求解相应的定积分。

接下来，我们拟从积分中值定理出发，引导学生开展若干简单的定积分数值计算公式。在高等数学课程中，积分中值定理告诉我们：定积分的值可以由区间的长度和函数在该区间上某一点函数值乘积来表示。但该定理未告诉学生是何点处的函数值。根据定积分的几何意义，在损失一定误差的情况下，数值上该点选择是多样的，可供选择的方案有：1.区间中点对应的函数值；2.区间两个端点函数值的平均值；3.区间的左端点或右端点对应的函数值，从而形成如下的各种定积分的近似计算公式：1）中矩形公式；2）中矩形公式；3）左矩形公式；4）右矩形公式。四个定积分的数值公式是数值分析课程关于定积分求解的带有误差的经典近似公式，其相应的误差可由高等数学的泰勒公式进行估计。学生可根据自己的实际情况开展相关的拓展训练。

三、结束语

通过本文的探索，学生可以提高对高等数学基本理论知识的理解，还可以增强自己在数值计算方面的意识。这方面的研究，不仅对本科阶段的学生有益，还对数学功底较差的研究生也有很大的帮助，帮助其完成学术研究中遇到的数学问题。