追寻有过程的教学
——“烙饼问题”教学实践与思考
2020-01-06杨海荣
陈 成 杨海荣
(1.重庆市秀山土家族苗族自治县第一民族小学校;2.重庆市秀山土家族苗族自治县高级中学校 重庆秀山 409900)
“烙饼问题”是人教版四年级上册“数学广角”单元的第二课时。四年级的学生已经有了初步解决问题的能力,具备了在日常生活中,解决问题的基本方法。但这里的关键是让学生理解优化的思想,形成从多种方案中寻找最优方案的意识,提高解决问题的能力。通过以往的教学,笔者发现,四年级学生对在烙3张饼时采用交替烙的方法在理解上存在一定困难,感觉很抽象,用语言描述既说不清,又道不明。如何让学生在理解这一问题时不再感到抽象呢?
为解决这一问题,笔者经过几次教学设计的调整和课堂的重建,最终从学生已有的生活经验、认知基础出发,让学生在活动中亲身经历“动手操作—思考感悟”的过程,积累了一定的数学活动经验。
一、谈话导入
师:煮熟一个鸡蛋大约要用5分钟,煮熟3个鸡蛋最快用多长时间?
预设:
生1:要15分钟。
生2:只需要5分钟,因为可以放在锅里一起煮,节约时间。
师:是的,生活中许多问题需要讲究策略。今天,我们就来研究烙饼问题。(揭示课题)
思考:从简单入手,通过煮1个鸡蛋与3个鸡蛋时间的对比,使学生充分认识到煮1个鸡蛋与同时煮3个鸡蛋,用时都是5分钟,初步感知优化思想。
二、合作探究,体会优化
(出示主题图。)
(一)梳理信息,理解题意
师:请看图,你获得了哪些数学信息?
生1:两面都要烙。
生2:每次最多只能烙2张饼,每面3分钟。
师:为了表达方便,我们可以把先烙的一面叫正面,后烙的一面叫反面。
师:烙1张饼要用多少时间呢?
生:6分钟。
(二)探究双数饼,初步感受优化
师:烙2张饼?可以怎样烙?最少几分钟?
预设:
生1:一张、一张烙,要12分钟。
生2:2张饼同时烙,要6分钟。
师:为什么你想到要同时烙呢?
生:因为锅里每次可以同时烙2张饼。
师:是的,只有两张同时烙,充分利用空间,锅才不会空着,这样最省时。
思考:根据学生已有的认知水平,让学生探究2张饼的最优烙法,降低学生思考的难度,同时,通过解决2张饼的问题体会到了优化意识。
(三)合理转化,运用优化
师:烙熟4张饼,至少要烙几次?请大家先算一算。
生:4次。
师:怎样安排才能只烙4次呢?
生:两张、两张同时烙。
师:把4张饼转化成了两张、两张地烙,运用了转化的思想。真了不起!
师:烙熟4张饼至少要烙4次,最少需要几分钟?
生:最少需要12分钟。
师:6张饼呢?先算一算烙几次,最少需要几分钟?
生:6次,最少需要18分钟。
师:怎样设计最佳方案呢?
生:把烙6张饼转化成2、2、2。
师:8张饼呢?
生:8次,最少需要24分钟。
师:像2张饼、4张饼、6张饼,我们都是同时烙的。你发现了什么?
生:双数张饼两张、两张地同时烙最省时,烙饼的次数和张数相等。
思考:抓关键词“同时”“节省时间”,渗透优化的思想,让学生明白“同时烙两张”会“节省时间”。
(四)探究单数饼
师:思考一下,烙3张饼会有几种不同的方法?但要想做到最省时,必须做到什么?
生:充分利用空间,让锅不要空着。
师:接下来,我们以小组合作的方式进行研究,用数学书代替只能烙2张饼的平底锅,圆片当饼,看看怎样才能尽快吃上饼?请看合作要求:
1.想一想,烙好3张饼,怎样才能不空锅;2.摆一摆,把你想到的方法动手摆出来;
3.记一记,把烙饼的过程用简洁的方式记录下来;4.准备汇报,思考怎样让别人听明白你的想法。(生动手操作,师巡视。)
师:做好的同学请举手示意,并把你们组的研究成果向大家汇报一下。
方法一:先烙第一张饼和第二张饼的正面,要3分钟;再烙第一张饼和第二张饼的反面,也要3分钟;接着,烙第三张饼的正面,需要3分钟;最后,烙第三张饼的反面,同样要3分钟。一共烙了4次,用了12分钟。
方法二:先烙第一张饼和第二张饼的正面,要3分钟;再取出第二张饼,烙第一张饼的反面和第三张饼的正面,同样需要3分钟;最后,待第一张饼熟了,烙第二张饼和第三张饼的反面,也要3分钟。一共只烙了3次,用了9分钟。
(生汇报第一种方案和第二种方案并上台演示,师记流程图。)
板书:1正2正—1反2反—3正—3反 4次 12分钟
1正2正—1反3正—2反3反 3次 9分钟
师:这两种方法中,你们觉得哪种最好,为什么?
生:第二种方法更省时。
师:第二种烙法,最关键的是哪一步?
生:第二步。
师:第二步我们是怎么做的呢?
生:第二步,拿出2号饼,换上3号饼的正面和1号饼的反面。
师:这样做的目的就保证了第三次烙的时候锅里有几张饼?
生:2张,第3次就烙2号的反面和3号的反面了,最大化地利用了锅。
师小结:第一种方法的第三次和第四次都只烙了1张饼。但同一张饼的两面不能同时烙,于是,你们想到了中间换一次饼。这就保证了每次锅里都有2张饼同时烙,从而最大化地利用了锅。我们可以把这种交替烙3张饼的方法叫作轮换烙饼法。
思考:“如何尽快烙好3张饼”是本节课的关键,也是难点。教师让学生借助学具动手操作、直观演示,结合课件演示两种烙法的对比,让学生发现充分利用锅内的空间,使锅里每次烙2张饼,最节省时间。学生在直观中思考、在操作中发现,从而感悟到简单的运筹思想。
(五)找到规律,建立数学模型
师追问:想一想,有可能找到比烙3次还要少的方法吗?为什么?
生:每次锅里都有2张饼了,已经充分利用了锅的空间。
师:对啊,3张饼每张都要烙几面?一共要烙多少面呢?
生:每张饼要烙两面,一共要烙6面。
师:这口锅每次最多能烙几面?
生:两面。
师:刚才,我们通过实际操作,得出了3张饼最少要烙3次的结论。你能不能用算式来计算出3张饼最少要烙3次呢?
生:3×2=6(面),6÷2=3(次)。(师板书)
师:这里的6表示什么?
生:3张饼总的面数
师:2代表什么?
生:锅里每次最多烙的面数。
师:求出的3表示什么?
生:最少次数。
师(板书:总的面数,最少次数):求出了最少次数,最短时间怎么算?
生:总的时间3×3=9(分)。
师:实际上,烙饼的最少次数就等于烙饼的总面数除以每次最多烙的面数。
课件出示:最少次数=烙饼的总面数÷每次最多烙的面数。
师:我们通过计算,也发现了烙熟3张饼最少要烙3次。这已经是最省时的方案了。那么,以后我们遇到这类题,就可以先通过计算算出最少次数,再设计出最佳方案。
(六)迁移规律
师:烙熟5张饼,至少要烙几次?需要几分钟?
生:把烙5张饼转化成2张饼和3张饼的烙法,烙了5次,用了15分钟。
师:像5、7、9这样单数张饼,我们应该怎样烙才最省时呢?
生:先两张、两张地烙,最后3张轮换烙最省时。
师:知道了烙的最少次数,能算出最短时间吗?
生:能,用最少次数乘3。
思考:从探究烙2张饼和3张饼最省时的方法入手,学生从操作中总结出怎样烙,由动作思维到抽象思维,层层深入,探究出烙偶数张饼和烙奇数张饼的方法都是转化成2张饼、3张饼去烙,渗透转化思想。
三、知识应用
例1 复印3张资料,每次最多放2张,两面都要复印,如果复印一面需要3秒,最少需要多少秒?
例2 有一种电脑小游戏,玩1局要5分钟,可以单人玩,也可以双人玩。小东和爸爸、妈妈一起玩,每人玩两局,至少需要多少分钟?
四、课堂总结
1.今天我们学习了怎样合理安排时间,说说学习感受。
2.解决问题的方法很多,我们要善于思考,找到最好的方法,提高做事的效率。
思考:在此环节,“今天你有什么收获吗?”这个问题的提出,主要是想培养学生整理、归纳的意识和习惯,提高他们学好数学的自信心。
五、反思
“烙饼问题”教学有以下几个特点[1]。
(一)从简到繁,层层递进
本节课导入部分做了很好的铺垫,让学生体会到同时操作会省时,然后,提出烙双数张饼怎样烙最省时的问题(同时烙),接着,重点探讨了烙单数张饼(3张饼)的方法。烙3张饼既是本节课的重点,又是难点。为了突破这个难点,笔者给予学生充分的时间与空间,先让学生小组合作,然后让学生到黑板上展示,最后对比,寻找烙饼的最佳方案。探究活动注重学生动手能力和思维发散能力的培养,让学生的手、眼、脑等多种感官协同活动。整个烙饼过程层层递进,培养了学生的数学思维,让他们能借助烙2张饼、3张饼的经验研究烙5张饼、7张饼和多张饼的方法。
(二)层次分明,体会最优
从整体上看,探究烙饼问题可分为四个层次进行教学。第一层次,主要是让学生体会烙双数张饼同时烙最省时间。第二层次,主要是突破烙3张饼的难点,让学生在对比中了解为什么用时9分钟的烙法是最佳烙法,渗透最佳烙法的前提是充分利用锅的空间。第三层次,找到规律,建立模型。烙饼的最佳烙法是最大限度地利用好这口锅。在教学中,笔者让学生不断体会、思考最优方法,并把这种方法转化成数学模型,即“最少次数=烙饼的总面数÷每次最多烙的面数”的计算公式。第四层次,在学生完全理解2张饼、3张饼的烙法后,探究出烙偶数张饼和烙奇数张饼的方法都是转化成2张饼、3张饼去烙,渗透转化思想。