追寻有过程的教学——“烙饼问题”教学实践与思考

陈 成 杨海荣

（1.重庆市秀山土家族苗族自治县第一民族小学校；2.重庆市秀山土家族苗族自治县高级中学校 重庆秀山 409900）

“烙饼问题”是人教版四年级上册“数学广角”单元的第二课时。四年级的学生已经有了初步解决问题的能力，具备了在日常生活中，解决问题的基本方法。但这里的关键是让学生理解优化的思想，形成从多种方案中寻找最优方案的意识，提高解决问题的能力。通过以往的教学，笔者发现，四年级学生对在烙3张饼时采用交替烙的方法在理解上存在一定困难，感觉很抽象，用语言描述既说不清，又道不明。如何让学生在理解这一问题时不再感到抽象呢？

为解决这一问题，笔者经过几次教学设计的调整和课堂的重建，最终从学生已有的生活经验、认知基础出发，让学生在活动中亲身经历“动手操作—思考感悟”的过程，积累了一定的数学活动经验。

一、谈话导入

师：煮熟一个鸡蛋大约要用5分钟，煮熟3个鸡蛋最快用多长时间？

预设：

生1：要15分钟。

生2：只需要5分钟，因为可以放在锅里一起煮，节约时间。

师：是的，生活中许多问题需要讲究策略。今天，我们就来研究烙饼问题。（揭示课题）

思考：从简单入手，通过煮1个鸡蛋与3个鸡蛋时间的对比，使学生充分认识到煮1个鸡蛋与同时煮3个鸡蛋，用时都是5分钟，初步感知优化思想。

二、合作探究，体会优化

（出示主题图。）

（一）梳理信息，理解题意

师：请看图，你获得了哪些数学信息？

生1：两面都要烙。

生2：每次最多只能烙2张饼，每面3分钟。

师：为了表达方便，我们可以把先烙的一面叫正面，后烙的一面叫反面。

师：烙1张饼要用多少时间呢？

生：6分钟。

（二）探究双数饼，初步感受优化

师：烙2张饼？可以怎样烙？最少几分钟？

预设：

生1：一张、一张烙，要12分钟。

生2：2张饼同时烙，要6分钟。

师：为什么你想到要同时烙呢？

生：因为锅里每次可以同时烙2张饼。

师：是的，只有两张同时烙，充分利用空间，锅才不会空着，这样最省时。

思考：根据学生已有的认知水平，让学生探究2张饼的最优烙法，降低学生思考的难度，同时，通过解决2张饼的问题体会到了优化意识。

（三）合理转化，运用优化

师：烙熟4张饼，至少要烙几次？请大家先算一算。

生：4次。

师：怎样安排才能只烙4次呢？

生：两张、两张同时烙。

师：把4张饼转化成了两张、两张地烙，运用了转化的思想。真了不起!

师：烙熟4张饼至少要烙4次，最少需要几分钟？

生：最少需要12分钟。

师：6张饼呢？先算一算烙几次，最少需要几分钟？

生：6次，最少需要18分钟。

师：怎样设计最佳方案呢？

生：把烙6张饼转化成2、2、2。

师：8张饼呢？

生：8次，最少需要24分钟。

师：像2张饼、4张饼、6张饼，我们都是同时烙的。你发现了什么？

生：双数张饼两张、两张地同时烙最省时，烙饼的次数和张数相等。

思考：抓关键词“同时”“节省时间”，渗透优化的思想，让学生明白“同时烙两张”会“节省时间”。

（四）探究单数饼

师：思考一下，烙3张饼会有几种不同的方法？但要想做到最省时，必须做到什么？

生：充分利用空间，让锅不要空着。

师：接下来，我们以小组合作的方式进行研究，用数学书代替只能烙2张饼的平底锅，圆片当饼，看看怎样才能尽快吃上饼？请看合作要求：

1.想一想，烙好3张饼，怎样才能不空锅；2.摆一摆，把你想到的方法动手摆出来；

3.记一记，把烙饼的过程用简洁的方式记录下来；4.准备汇报，思考怎样让别人听明白你的想法。（生动手操作，师巡视。）

师：做好的同学请举手示意，并把你们组的研究成果向大家汇报一下。

方法一：先烙第一张饼和第二张饼的正面，要3分钟；再烙第一张饼和第二张饼的反面，也要3分钟；接着，烙第三张饼的正面，需要3分钟；最后，烙第三张饼的反面，同样要3分钟。一共烙了4次，用了12分钟。

方法二：先烙第一张饼和第二张饼的正面，要3分钟；再取出第二张饼，烙第一张饼的反面和第三张饼的正面，同样需要3分钟；最后，待第一张饼熟了，烙第二张饼和第三张饼的反面，也要3分钟。一共只烙了3次，用了9分钟。

（生汇报第一种方案和第二种方案并上台演示，师记流程图。）

板书：1正2正—1反2反—3正—3反 4次 12分钟

1正2正—1反3正—2反3反 3次 9分钟

师：这两种方法中，你们觉得哪种最好，为什么？

生：第二种方法更省时。

师：第二种烙法，最关键的是哪一步？

生：第二步。

师：第二步我们是怎么做的呢？

生：第二步，拿出2号饼，换上3号饼的正面和1号饼的反面。

师：这样做的目的就保证了第三次烙的时候锅里有几张饼？

生：2张，第3次就烙2号的反面和3号的反面了，最大化地利用了锅。

师小结：第一种方法的第三次和第四次都只烙了1张饼。但同一张饼的两面不能同时烙，于是，你们想到了中间换一次饼。这就保证了每次锅里都有2张饼同时烙，从而最大化地利用了锅。我们可以把这种交替烙3张饼的方法叫作轮换烙饼法。

思考：“如何尽快烙好3张饼”是本节课的关键，也是难点。教师让学生借助学具动手操作、直观演示，结合课件演示两种烙法的对比，让学生发现充分利用锅内的空间，使锅里每次烙2张饼，最节省时间。学生在直观中思考、在操作中发现，从而感悟到简单的运筹思想。

（五）找到规律，建立数学模型

师追问：想一想，有可能找到比烙3次还要少的方法吗？为什么？

生：每次锅里都有2张饼了，已经充分利用了锅的空间。

师：对啊，3张饼每张都要烙几面？一共要烙多少面呢?

生：每张饼要烙两面，一共要烙6面。

师：这口锅每次最多能烙几面？

生：两面。

师：刚才，我们通过实际操作，得出了3张饼最少要烙3次的结论。你能不能用算式来计算出3张饼最少要烙3次呢？

生：3×2=6(面)，6÷2=3(次)。（师板书）

师：这里的6表示什么？

生：3张饼总的面数

师：2代表什么？

生：锅里每次最多烙的面数。

师：求出的3表示什么?

生：最少次数。

师（板书：总的面数，最少次数）：求出了最少次数，最短时间怎么算？

生：总的时间3×3=9(分)。

师：实际上，烙饼的最少次数就等于烙饼的总面数除以每次最多烙的面数。

课件出示：最少次数=烙饼的总面数÷每次最多烙的面数。

师：我们通过计算，也发现了烙熟3张饼最少要烙3次。这已经是最省时的方案了。那么，以后我们遇到这类题，就可以先通过计算算出最少次数，再设计出最佳方案。

（六）迁移规律

师：烙熟5张饼，至少要烙几次？需要几分钟？

生：把烙5张饼转化成2张饼和3张饼的烙法，烙了5次，用了15分钟。

师：像5、7、9这样单数张饼，我们应该怎样烙才最省时呢？

生：先两张、两张地烙，最后3张轮换烙最省时。

师：知道了烙的最少次数，能算出最短时间吗？

生：能，用最少次数乘3。

思考：从探究烙2张饼和3张饼最省时的方法入手，学生从操作中总结出怎样烙，由动作思维到抽象思维，层层深入，探究出烙偶数张饼和烙奇数张饼的方法都是转化成2张饼、3张饼去烙，渗透转化思想。

三、知识应用

例1 复印3张资料，每次最多放2张，两面都要复印，如果复印一面需要3秒，最少需要多少秒？

例2 有一种电脑小游戏，玩1局要5分钟，可以单人玩，也可以双人玩。小东和爸爸、妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要多少分钟？

四、课堂总结

1.今天我们学习了怎样合理安排时间，说说学习感受。

2.解决问题的方法很多，我们要善于思考，找到最好的方法，提高做事的效率。

思考：在此环节，“今天你有什么收获吗？”这个问题的提出，主要是想培养学生整理、归纳的意识和习惯，提高他们学好数学的自信心。

五、反思

“烙饼问题”教学有以下几个特点[1]。

（一）从简到繁，层层递进

本节课导入部分做了很好的铺垫，让学生体会到同时操作会省时，然后，提出烙双数张饼怎样烙最省时的问题（同时烙），接着，重点探讨了烙单数张饼（3张饼）的方法。烙3张饼既是本节课的重点，又是难点。为了突破这个难点，笔者给予学生充分的时间与空间，先让学生小组合作，然后让学生到黑板上展示，最后对比，寻找烙饼的最佳方案。探究活动注重学生动手能力和思维发散能力的培养，让学生的手、眼、脑等多种感官协同活动。整个烙饼过程层层递进，培养了学生的数学思维，让他们能借助烙2张饼、3张饼的经验研究烙5张饼、7张饼和多张饼的方法。

（二）层次分明，体会最优

从整体上看，探究烙饼问题可分为四个层次进行教学。第一层次，主要是让学生体会烙双数张饼同时烙最省时间。第二层次，主要是突破烙3张饼的难点，让学生在对比中了解为什么用时9分钟的烙法是最佳烙法，渗透最佳烙法的前提是充分利用锅的空间。第三层次，找到规律，建立模型。烙饼的最佳烙法是最大限度地利用好这口锅。在教学中，笔者让学生不断体会、思考最优方法，并把这种方法转化成数学模型，即“最少次数=烙饼的总面数÷每次最多烙的面数”的计算公式。第四层次，在学生完全理解2张饼、3张饼的烙法后，探究出烙偶数张饼和烙奇数张饼的方法都是转化成2张饼、3张饼去烙，渗透转化思想。