如何在数学教学中促进学生顿悟学习

刘达锋

格式塔心理学家苛勒认为只要人运用他们先天具备的能力,就能认识到环境中事物间的关系,产生顿悟解决问题.学习的过程是学习者在“知觉场”作用下的“顿悟”过程,顿悟是对问题情境的突然理解,“知觉场”是客观环境与他的心理所感受到的部分.学习者对于学习情境整体(知觉场)的顿悟,这对于问题解决是十分重要的.有一个著名的实验可以说明这一点,让学生用6根火柴搭成4个正三角形,许多学生在平面上搭来搭去就是搭不成,因为他们没有突破平面这个“知觉场”,如果突破了它而在立体“知觉场”中便很容易地搭成了.学生一旦能够运用直觉思维的“眼睛”在空间中寻找到关于该问题的“第六感”,探求到事物的本质,一种如“牛顿看到苹果落地顿悟出万有引力”的情形便应运而生.在这个过程中,隐含着一种由动机诱导促发顿悟,顿悟获得又进一步激发学习动机的良性循环机制,即顿悟学习的发生机制.

那么一个人在其知觉场的作用下是怎样实现顿悟的呢?“格式塔理论”认为知觉场的打乱重组是顿悟学习的来源,逻辑之“顿”与直觉之“悟”构成顿悟学习的主要过程,顿悟是思维中的旧的格式塔被打破和新的格式塔被创建的过程,这个过程也就是改造原认知结构建立新的认知结构的过程.

认知结构是学习者头脑里的知识结构,是学习者对客观的知识结构的理解,形成的观念.心理学家认为,新的认知结构的建立主要的建构方式是同化和顺应.

同一数学内容的数学认知结构总是因人而异的,有的优,有的劣,这种优劣体现在认知结构变量的差别.数学教学的根本任务就是帮助学生建立起优良的数学认知结构.学生在学习中能够产生顿悟,适应新的学习情境或解决问题的能力越强,认知结构也因顿悟得到优化.因而在课堂教学中应注意创设和利用有利于促进学生顿悟的整体情境和教育契机,让新知识和好的想法由学生自己顿悟获得.

下面结合教学案例对学生顿悟学习作出分析.

图1

一、充分考虑学生最近发展区,创设问题情境,引导学生顿悟

美国数学家和教育家波利亚指出：“学习任何东西,最好的途径是自己去发现”.因此,在进行概念教学时,可在新旧概念间的联系点处设计最近发展区的情境,使学生经历观察、分析、类比、猜想、归纳、抽象、概括、推广等思维活动,从而获得对数学概念较为全面的体验和理解,这样有助于学生顿悟新概念.

案例1等比数列的教学

(1)设置概念类比的问题情境.先引导学生回顾一下学过的等差数列的概念及研究的方法,然后给出新情形让学生类比体验：

下面两个数列各有什么特点：

(I)3,9,27,81,···,

(2)启迪顿悟阶段.

你能否一般性描述这两个数列的特点呢?(引导学生给出新数列的定义,并与等差数列定义对照比较顿悟出等比数列的概念.)

(3)顿悟强化阶段

评注以上通过引导学生探究得到“等比数列”概念,认识等比数列的本质和特点,即认识新的概念的属性,使学生顿悟到这一概念是已有等差数列概念的一种自然发展.这样的概念还有很多,如空间向量与平面向量的类比、双曲线与椭圆的类比,空间的二面角与平面的角类比等等.这类数学概念形成一定要抓住新旧概念的相似点,为新的数学概念的形成提供必要的“认知基础”,通过与熟悉的概念类比(类比的形式多样,如空间与平面的类比、高维与低维的类比、无限与有限的类比,还有方法类比、结构类比、形式类比等等),可使学生顿悟,获得新的数学概念.

二、暴露思考过程,引导学生质疑反思,促使学生顿悟

荷兰数学家和教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力”.因此,对于解题教学,应该按照“做──比──问”的思路来展开教学.“做”就是让学生自己先审题、分析、试做;“比”就是把学生自己的分析、做法同教师的、同学的或书上的方法对比,找出优劣,发现问题;“问”就是提问题,解题后反思：①解法是怎样想出来的?关键是哪一步用?到的知识有哪些?②能找到更好的解题途径吗?有没有第二种方法?③这个方法能推广吗?这个题中的结论能推广吗?

案例2(1)已知求的值.

首先,让学生独立解答,大多学生会按下面方法试做：

解(1)依题意有且所以

可以得出第(2)题不能照搬第(1)题直接展开运算,促使学生反思,探索其他简便的方法.顿悟出β与α、α+β的关系,即β=(α+β)-α,则有sinβ=sin[(α+β)-α],展开可得：因为是锐角,所以又因为锐角α、β满足所以α+β为钝角,所以所以

最后,由学生自己总结哪一方法更好.通过比较,学生可以体会到变角的运用使计算大大简化了.变角的思想方法可不可以推广?提供问题：已知求sin2α的值.让学生独立思考体会.

评注经历“做──比──问”的过程,学生能获得在独立研究中碰到的各种不同情景的体验,看到思维的过程,有利于学生自己发现正确的解题方法,有“顿悟”的快感,体会到成功的快乐,顿悟获得更优的解题方法,把解题思路悟透,从而达到优化数学认知结构的目的.

三、概括提炼规律,形成知识模块,提高学生顿悟能力

高度的概括性是数学学科的本质特征.数学知识的高度抽象性、逻辑严谨性、广泛的应用性都源于概括性,数学认知结构的优化、对数学规律的顿悟同样也离不开概括.

概括的过程是突出共性的过程,合理的概括有利于把握知识的内在联系,建立能促进顿悟的认知结构.有一组实验可以说明这一点,把149162536496481写在一张卡片上,要一组被试者看15秒钟,然后试图回忆它.这是一项相当困难的任务.在一般情况下,除了记住其中少数几个数字外,没有人能全部记住.但在给另一组被试者看这张卡片之前,告诉他们在试图记住它以前,先想一下这些数字为什么这样排列,是否有规律可循.结果不少被试者都觉察到,这些数原是用1到9的平方排列起来的.这样一来,回忆这些数字就毫无困难,哪怕是在几周或几个月之后也能轻易做到.

知识模块由数学中的定义、定理、公式、法则等组成,并集中地反映在一些基本问题、典型题型或方法模式中.许多其他问题的解决往往就可以归结成一个或几个基本问题,化为某类典型题型,或者运用某种方法模式.在解数学题时,对于学习优秀的学生而言,他们特别爱联想、猜想,一见到新的问题,就立即回忆以前解决过的老问题,企图从后者获得启发.而且,他们的这种联想是模块状的,思维的过程是：见到一个问题,反应到一系列基本问题(即反应块).也正是因为优秀学生的头脑中不仅贮存有概念、定理、公式、法则,而且还贮存着比一般学生更多的知识模块,所以快速反应的数学顿悟就会应运而生.这些知识模块由于不一定以定理、性质、法则等形式出现,而是分布于例题或问题之中,因此不容易引起学习者的特别重视,往往被淹没在题海之中.因此,对于复习教学,应引导学生概括提炼规律,形成丰富的知识组块,可提高学生的顿悟水平.

案例3函数的值域复习教学中,笔者设计了下面的题组让学生概括提炼解题规律.

首先让学生思考：

问题1求函数y=x2+2x-1的值域.

这是一道很简单的题目,只需根据二次函数图象或配方就可以得到函数的值域.

继续思考：

问题2求函数y=x2+2x-1(x≥0)的值域.

问题3求函数的值域.

问题4求函数y=x4+2x2-1(-1≤x≤2)的值域.

这三个值域问题,虽然它们的表达方式不同,但其实质是相同的,都属于应用二次函数图像求值域的问题,只不过有时需要换元,有时要考虑自变量的范围.

再让学生思考：

问题5若关于x的不等式x2+2x-a=0在[1,3]上有解,求实数a的取值范围.

问题6若关于x的不等式x2+2x-a＞0在[1,3]上有解,求实数a的取值范围.

问题7若不等式x2+2x-a＞0在对于x∈[1,3]恒成立,求实数a的取值范围.

问题8若不等式sin2x-2cosx+a＞0在对于恒成立,求实数a的取值范围.

这几个问题并不是直接求值域的问题而且有一定的难度,经过分析、分离参数、比较,我们可以发现它们都可以转化为求函数的最值问题,从而化难为易.通过这些问题的解决,可引导学生概括反思这些问题,顿悟到其本质都是用二次函数的图像求值域的问题,且这里转化为较易处理的问题的方法有一定的规律性.

评注数学问题虽千变万化,但许多问题会有联系.教学中要善于引导学生概括出其中的本质联系从而形成知识模块.在解决数学问题的过程中,要教会学生从宏观上进行整体分析,抓住问题的框架结构和本质关系,从思维策略的角度确定解题的入手方向和思路,在整体分析的基础上进行块状思维(即设法析出自己熟悉的知识模块),使新问题分解为熟悉的问题,这样对新问题的解决的顿悟水平就会越来越高.

总之,笔者认为新知识和新方法应由学生自己顿悟获得,教学的根本任务就是帮助学生建立起优良的数学认知结构,促进学生的顿悟,教学有法,但无定法,只要我们能充分结合数学学科的特点和具体的数学对象来预设教学过程去促进学生顿悟,就能教给人人都能学会的数学,让人人都体会到数学之美.