指向数学抽象素养的课堂教学研究——透过“两角差的余弦公式”的视点

淮北师范大学 数学科学学院(235000) 涂冬雪 张 昆

一、引言

20世纪末以来,“核心素养”成为国际的重要议题．2014年3月30日,中国教育部印发的《关于全面深化课程改革,落实立德树人根本任务的意见》中指出：研究制订学生发展核心素养体系,明确学生应具备适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力．该《意见》正式提出“核心素养体系”的概念[1]．2016年9月13日发布的《中国学生发展核心素养》中指出：学生发展核心素养指学生应具备的,能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力,是关于学生知识、技能、情感、态度、价值观等多方面要求的综合表现[2]．至此,关于核心素养的研究引起了教育界的广泛关注.《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出高中6个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析[3],分别从情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思4个方面对6个核心素养进行3个水平的划分．

其中,数学抽象素养位居首位.数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养,它是形成理性思维的重要基础,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.本文透过“两角差的余弦公式”教学研究视点,让学生亲自猜想,在“领会－建立－巩固－发展”过程中得到发展,充分感受到公式初步模型探索过程,建立对应数学猜想,培养学生的观察与总结能力．利用旧知和推理逐步构建新知,引导学生感悟抽象思想,提升数学核心素养.

二、理论基础

学科核心素养是育人价值的集中体现,是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.数学学科核心素养是数学课程标准的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的.这里从数学核心素养的相关研究以及对数学抽象素养的理解两个方面进行简要阐述.

(一)数学核心素养的相关研究

许多学者对数学核心素养进行了相关研究,南京师范大学喻平教授对数学学科核心素养要素析取进行实证研究,并提出将数学核心素养划分为知识理解、知识迁移、知识创新3种水平的评价框架.天津师范大学王光明教授等对高中生数学素养的操作定义进行了研究．2017年《数学教育学报》第1期刊载了7篇基于2016年江苏省八年级学生学业质量监测的数学核心素养发展状况研究的文章,其借鉴高中数学核心素养水平划分,将初中数学核心素养的具体表现进行4个水平的划分,进而对不同群体分别就质量监测中与6个数学核心素养相关的题目得分情况及水平分布进行统计分析,得出江苏省八年级学生6个数学核心素养相应发展水平的特征.然而,目前指向数学核心素养的课堂教学研究还很缺乏.

(二)数学抽象素养的理解

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养．它主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学,因此,数学抽象主要是从众多事物中抽取出其在数量和图形方面共同的、本质的特征,通过对数量与图形的性质、关系和规律进行研究,进而用数学符号进行表征.数学抽象使得数学具有一般性.史宁中教授认为,数学抽象从表现形态和思维形态来看,需要经历两次抽象[4],第一次是概念抽象,是在基于现实的概念抽象基础上,进而基于逻辑的抽象,从而得到数学概念以及概念之间的性质、关系和规律;第二次抽象是符号抽象,其抽象的特点是符号化、形式化和公理化.数学抽象让学生经历由感性具体到理性具体,从理性具体上升为理性一般的思维过程.

通过高中数学课程的学习,学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系,积累从具体到抽象的活动经验;养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯,把握事物的本质,以简驭繁;运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.也即,学生形成一定的数学抽象素养,能够用数学的眼光观察现实世界,运用数学抽象的方法抓住事物的本质和结构,在一般的、抽象的层面上思考问题．同时,在数学学习过程中,能够更好地理解数学、应用数学,以及形成数学化的能力和思维习惯.

三、课堂教学研究

课堂教学是学校教学工作的基本形式,课堂教学的好坏,直接影响学生学习质量的高低.因此,教师要精心设计好每一节课,使得每堂课的教学时间都得到充分利用,都取得尽可能好的教学效果.这里通过对“两角差的余弦公式”这节课的课堂教学研究,从而培养高中生数学抽象思维,发展数学学科核心素养.

(一)钻研教材,创新数学教学

这里通过对教材分析发现对“两角差的余弦公式”知识引入与展开的处理方式有所不同,以及现有课堂教学现状的分析发现目前对本节知识引入与展开有问题铺垫,单刀直入式、“巧设”问题,引导“探究”式.

1.教材现状

对比几种不同版本教材,分析发现对“两角差的余弦公式”知识引入与展开的处理方式有所不同：

(1)人民教育出版社A版：先在这章开始部分创设了一个涉及两角和三角函数的实际应用问题情境,再在单位圆中推导α,β为锐角,且α＞β时的两角差余弦公式cos(α-β),最后再借助向量工具证明α,β取任意角的一般情况.

(2)人民教育出版社B版：直接提出“如何计算α+β,α-β的三角函数”,随即给出公式．

(3)北师师范大学出版社：在直角坐标系中取两锐角α,β且α＞β,得两单位向量(cosβ,sinβ)利用向量数量积的定义和坐标运算得出公式．再补充说明α,β为任意角时公式也成立．

与北师大版教材处理方式类似,苏教版和湘教版教材也采用向量数量积引导出差余公式．

2.课堂教学现状

受教材编写意图引导、教师理念和学生能力差异等因素的影响,目前对本节知识引入与展开常见以下几种方式．

(1)问题铺垫,单刀直入式

按人民教育出版社B版的方式,教师先是抛出诸如“如何求值sin75°,cos15°”的问题引出“两角差的余弦公式”这一节课,再用向量法推导差余公式.

(2)“巧设”问题,引导“探究”式

教师设置诸如“已知a=(cos75°,sin75°),b=(cos45°,sin45°),试求a·b的值”的问题,然后给出计算a·b的两种方法：

解法一：a·b=cos75°cos45°+sin75°sin45°;

解法二：a·b=|a|·|b|cos30°=cos30°.

再猜想公式,并用向量法证明．

对于上述知识引入、展开的方式,有以下几个值得商榷的问题：

第一,设置的问题有些突兀,不自然,不连贯,教师的主观意志强;

第二,缺乏必要的引导,公式的发现成为“被发现”,导致学生思维的参与度不高．

第三,没有顾及学生的认知准备现状,在理解数学、理解学生、理解教学上都存在欠缺．即不利于学生的学和教师的教.

(二)研究教学方法,提升数学抽象素养

教学过程总是包括教师和学生的双边活动,而且二者既有联系又有差别.因而,教学方法既包括教的方法,也包括学的方法.

1、教的方法,主要指教师的讲解、指导和检查学生的认识活动的手段、方式和方式、方法;

2、学的方法,主要指学生的领会、理解和掌握学习内容的手段和方式、方法,以及学习和自我检查的复现与进行探索活动的有效的方法.

在数学教学的实际过程中,以上两类方法总是有机地结合在一起使用的,每一种教的方法都与一定的学的方法相适应,彼此互相渗透,就能形成使教学目标得以实现的学习环境.

高中是学生数学抽象思维能力发展的重要阶段,然而,现在关于如何在中学教学中培养学生的数学抽象思维还存在很多问题.比如,由于问题链设置不恰当导致不能很好地引导学生自主归纳探究、训练数学抽象能力;又如,在教学过程中教师对相关知识的抽象度没能进行很好划分,导致教学过程中学生思维跨度大.要在教学过程中有效培养学生的数学抽象能力,就要根据数学知识的抽象度、数学抽象的阶段性特点和学生的数学抽象思维水平进行教学设计.

“两角差的余弦公式”处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上,且属于原理性知识,三角变换公式不仅能进一步拓宽三角函数求值的范围,并且具有预测变换目标、选择变换公式、设计变换途径等训练功能,所以对三角变换公式的理解与掌握十分重要.下面是这节课课堂教学设计.

环节1复习旧知,提出初始问题

问题1观察上面四个式子,你能从中提出一个问题吗?

问题2可以找到一般表达式cos(α-β)吗?cos(α-β)的一般表达式是什么?

重视初始问题对学生数学抽象概括活动的启动作用.

环节2探究新知

问题3cos(α-β)的表达式中可能含有哪些因素呢?

学生根据旧知一般会答有sinβ,cosβ这两个元素.

问题4可能还有哪些因素呢?为什么?

还有sinα,cosα,因为cos(α-β)=cos[-(β-α)]=cos(β-α).

问题5sinα,cosα,sinβ,cosβ形成怎样的结构呢?

可能：

环节3证明探究结果

问题6式(a)是真命题吗?

运用向量的知识进行探究.如图1,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B.则(cosβ,sinβ).由向量数量积的坐标表示,有.

图1

图2

另一方面,由图1可知,α=2kπ+β+θ;由图2可知,α=2kπ+β-θ.于是α-β=2kπ±θ,k∈ℤ.所以cos(α-β)=cosθ.

也有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

所以对于任意角α,β有cos(α-β)=cosαcosβ+

综上,从问题1到问题5“两角差的余弦公式”的探究过程.学生能在问题驱动下抽象出数学公式,积累从具体到抽象的活动经验,养成在实践中一般性思考问题的习惯,把握其本质,以简驭繁,运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.

(三)反思与评价

“两角差的余弦公式”在最近发展区理论下进行教学的设计,明确了介于学生已经掌握知识和未能掌握知识之间的知识“空白地带”,通过合理设计、精心准备,将这些属于“跳一跳”可以触摸的知识传授给学生.

在教学中,为使学生易于接受一些抽象的结论(公式、概念),教师有必要举出一些学生熟悉的例子,从具体实例出发,符合学生的思维特点,有助于理解抽象结论、提高教学质量.因此,从具体出发并不是迁就学生思想的局限性,而是有其积极意义的.而这些具体的实例也就是差余公式的先行组织者.

该经典内容的课堂教学设计符合最近发展区理论,主要变现为以下三个方面：

1.设计自然：符合最近发展区的课堂教学设计自然,既需要对任教学生有扎实的学情了解,又需要对教材做合理的符合学生水平的预期设计,既承接前期学过的知识,又对后续新知有合理的过渡;

2.循序渐进：最近发展区对于学生个体而言又存在着不同,这里的设计需要按照学生均衡程度去处理教学设计,即循序渐进的原则,这样的最近发展区较为符合学生认知心理;

3.留有余地：教师忌任何问题面面俱到、细微不至,如果将学生的最近发展区“填满”,学生成长的空间就显得比较小.

综上,中学生对数学的抽象性需要一个适应过程.不过只要对教材处理合适,教学方法得当,特别是经常注意发展学生的抽象能力,则他们还是可以逐步适应的.而且中学生还有一种向抽象方向发展的要求,假如这种要求得不到满足和正确引导,反而会挫伤他们学习数学的积极性,并养成局限于考虑具体素材的习惯,或是导致对抽象方法的错误运用等.所以,在数学教学过程中对抽象性逐步提出合理的要求,并采取适当方法予以落实,对培养和发展学生的抽象能力是至关重要的.

四、简要结语

任何数学公式都有其产生的背景,只有让学生在课堂上经历从公式背景中发现和提出公式的猜想,进而完成严格的逻辑论证,这样的教学过程才是自然的、朴实的.但是,再好的的问题情境,也只能反映出知识发生的自然,我们还要追求知识发展的自然.从培养核心素养的角度讲,三角变换承载着预测变换目标、选择变换公式、设计变换途径等数学基本能力的训练功能,这之于学好数学的重要性是不言而喻的．但要收到事半功倍的效果,教学中必须坚持由易到难、层次分明、循序渐进,使学生的技能水平自然而然的渐次提升,任何试图拔苗助长、一蹴而就的做法,都会欲速不达．所以,贴近学生的知识经验与能力基础,贴近学生的情感态度与思维状态,追求朴实自然的课堂教学,才使高中生在获得“四基”、提升“四能”的基础上,培养其数学抽象思维、发展数学学科核心素养.