仿拓扑群理论研究的若干进展

李嘉达， 林福财

（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）

仿拓扑群是拓扑群结构的重要推广，寻求仿拓扑群理论的广义度量性质、基数不变量和自由仿拓扑群理论等，特别是寻求拓扑群理论的结果能够推广到仿拓扑群理论，一直是拓扑代数方向的研究者们关心的一类重大且有趣的问题.20 世纪的80 年代，国内外就开始系统研究仿拓扑群，已取得了很多不错的结果，例如P.J.Nyikos[1]证明了弱第一可数的仿拓扑群是第一可数的，Arhangel'skiǐ A V 与Reznichenko E A[2]证明了每一个σ 紧的T2仿拓扑群的胞腔度可数，但对仿拓扑群理论的研究还有许多需要解决的重要问题.

2006 年著名的拓扑学家Arhangel'skiǐ A V 到首都师范大学和闽南师范大学讲学，提倡我国学者在拓扑代数方面开展研究，特别是在仿拓扑群理论方面.自此，越来越多的国内学者就开始投入到仿拓扑群理论的研究中，获得了不少有突破性的成果，例如: 刘川和林寿[3]证明了每一个具有左不变对称度量的仿拓扑群是拓扑群，林福财[4]用反例说明了具有可数伪特征的T2仿拓扑群未必是次可度量的.此外，蔡长勇[5-8]、李丕余[7]、林福财[4,10-16]、刘川[3,17-19]、彭良雪[20]、沈荣鑫[21]、谢丽红[22-23]等也相继讨论仿拓扑群的拓扑性质，特别是在广义度量空间性质、基数不变量、自由仿拓扑群理论等.

本文从仿拓扑群的基数不变量、广义度量性质和自由仿拓扑群理论这三个方面，介绍国内学者在仿拓扑群领域的研究成果，一些定语与术语，请参考文献[24-25].

1 仿拓扑群的空间的基数不变量

仿拓扑群的基数不变量是研究仿拓扑群的重要理论，也是重要的研究工具.本节介绍国内学者在仿拓扑群基数不变量方面取得的一些研究成果.

1981 年，Nyikos P J 证明了弱第一可数的仿拓扑群是第一可数的，那么满足弱可数公理（如第一可数、第一可数、Fréchet-Urysohn 等）的仿拓扑群具有什么的拓扑性质或广义度量性质？如Nyikos P J、Arhangel'Skiǐ A V 和 Tkachenko M 提出的如下问题：

问题1[1]是否每一Fréchet-Urysohn 的仿拓扑群是 α4空间?

问题2[24]是否每一第一可数的正则仿拓扑群是次可度量化?

注：虽然该问题已经被著名拓扑学家Taras B, Alex R 完全解决，但国内学者是最早在该这问题上进行了系统的研究，并做出了相应的贡献.

问题3[24]是否每一Hausdorff（正则）第一可数伪特征的仿拓扑群是否具有Gδ对角线?

刘川、沈荣鑫、林福财、李丕余等在这些问题上开展了研究，获得如下一些结果：

定理1[19]设 G 是Hausdorff 第一可数仿拓扑群，那么G 具有正则Gδ对角线.

定理2[21]对序列的、 第一可数的和正则仿拓扑群G，则G 是第一可数的当且仅当G 不含Sw的闭拷贝.

定理3[21]具有可数网的第一可数的仿拓扑群G 具有可数基.

定理4[10]每一 sn 第一可数的仿拓扑群G 是 so 第一可数的.

命题5[3]下列条件等价：

1) 每一正则具有可数网的双序列的仿拓扑群是可分与可度量化的；

2) 每一可数、正则的和双序列的仿拓扑群是第一可数.

下列3 个命题是对问题1 的一个部分回答.

命题1[3]下列表述等价：

1) 每一 Fréchet-Urysohn 仿拓扑群 G 是 α4空间；

2) 每一可数的 Fréchet-Urysohn 仿拓扑群 G 是 α4空间.

命题 2[3]设 G 是序列的仿拓扑群.若 G 是 α4空间，那么 G 是强 Fréchet-Urysohn 空间.

命题 3[3]设 G 是仿拓扑群，则 G 是强 Fréchet-Urysohn 当且仅当 t（G）ω 且G 的每一可数子集是不包含闭拷贝Sω的序列子空间.

下列5 个定理是对问题2 的一些部分回答.

定理 5[4]若（G，）是SIN 且第一可数的Hausdorff 仿拓扑群，则（G，）是次可度量化空间.

定理 6[4]若（G，）是具有可数特征的Hausdorff 交换仿拓扑群，则（G，）是次可度量化空间.

定理 7[4]若（G，）是saturated 的第一可数Hausdorff 仿拓扑群，则G 是次可度量化空间.

定理 8[4]若（G，）是弱紧的第一可数Hausdorff 仿拓扑群，则G 是次可度量化空间.

定理 9[4]设（G，）是SIN 的Hausdorff 仿拓扑群，若G 是局部可数的，则G 是次可度量化空间.

例1[4]存在具有可数伪特征但不具有Gδ对角线交换仿拓扑群G.

例1 是对问题3 的一个否定回答，是最早在可数伪特征仿拓扑群的研究方面取得突破.

2 仿拓扑群的广义度量性质

广义度量空间研究是我国传统研究强项，如江守礼、林寿、李进金、彭良雪、燕鹏飞、李克典等取得很多好成果.应用广义度量空间理论的方法和技术手段来研究拓扑代数，是我国在拓扑代数研究的一大研究特色.仿拓扑群作为拓扑群的重要推广， 涉及到大量广义度量空间理论的公开问题， 如是否每一正则的Moore 仿拓扑群是可度量化吗？广义度量方法在仿拓扑群理论的研究得到了很好的应用，我们将重点阐述国内学者在这方面取得的成果.

下面例子和定理说明每一正则的Moore 仿拓扑群不一定是可度量化的，否定地回答了著名拓扑学家Arhangel'skiǐ A V 和 Tkachenko M 的公开问题.

例2[4,9]存在正则的Moore 仿拓扑群不可度量化.

定理10[26]在MA+┐CH，存在不可度量化、可分、正规Moore 的仿拓扑群.

下面的定理给出该问题另一种回答.

定理11[4]每一正则拟可展的Baire 仿拓扑群G 都是可度量化的拓扑群.

定理12[17]每一第一可数且β 仿拓扑群是可展的.

自然地，什么样的仿拓扑群是可度量化？ 刘川、林寿和林福财给出该问题的一些回答.

定理13[3]下列条件等价：

1）G 是具有左不变度量的可度量化拓扑群；

2）G 是度量化拓扑群；

3）G 是具有左不变对称度量的对称度量化仿拓扑群；

4）G 是具有左不变拟度量和左连续的拟度量化的仿拓扑群.

定理14[4]设G 是不可数的仿拓扑群，若G 是可分度量空间的伪开映像，则G 是可分的度量化空间.

定理15[4]设G 是正则、局部的可数kω仿拓扑群，那么G 是离散的拓扑群或包含闭拷贝Sω.

众所周知，一个拓扑群中具有（闭）拷贝S2当且仅当具有（闭）拷贝Sω，但在仿拓扑群至今仍然是个公开问题，但刘川证明了如下定理.

定理 16[19]设 G 是仿拓扑群.若 G 具有（闭）拷贝 S2，那么 G 具有（闭）拷贝 Sω.

3 自由仿拓扑群理论

自由仿拓扑群是文献[27]引入的概念.至今，自由仿拓扑群是仿拓扑群理论的一个重要研究方向，能够为研究仿拓扑群理论提供理论工具和方法.2002 年至今，仿拓扑群理论的研究引起众多学者的兴趣，特别是国内的学者的研究独具特色.自由仿拓扑群的嵌入问题和邻域基问题是研究仿拓扑群理论的核心问题，2012 年，林福财首次给出了自由交换仿拓扑群单位元邻域基的形式；2015 年，林福财、林寿等解决了自由交换仿拓扑群的嵌入问题；蔡长勇、林寿等对自由仿拓扑群进行了系统的研究，见[5-8].

定理17[15]设Y 是度量空间X 的子空间，则 AP（Y）是AP（X）仿拓扑群子群.

自由仿拓扑群广义度量性质的刻画是一个重要研究方向，是厘清自由仿拓扑群拓扑性质的一个重要手段，国内的学者在这方面取得了重要的进展.下面定理推广了自由拓扑群理论的重要成果.

定理18[16]设X 是函数Hausdorff 空间，则下列等价：

1）FP（X）是几乎可数型的仿拓扑群；

2）AP（X）是几乎可数型的仿拓扑群；

3） X 是离散的.

定理19[5]设 X 是次可度量空间，则FP（X）是 σ 空间（半层空间）当且仅当X 是 σ 空间（半层空间）.

定理20[15]设X 是可度量的 z 空间，则下列等价：

1）AP（X）是 k 空间；

2）AP（X）同胚于可数的 kω空间与离散空间的积；

3）X 是局部紧、局部可数的且非孤立点集是可分的.

定理21[5]设X 是正则空间，则下列等价：

1） FP2（X）是第一可数的；

2）FP2（X）是度量空间；

3）X 是可度量化的且非孤立点集是有限集；

4） AP2（X）是第一可数的；

5） AP2（X）是度量空间；

6）对每一 n∈N，APn（X）是第一可数空间.

4 公开问题

关于仿拓扑群理论的公开问题非常多，下面列举部分有趣且重要的问题.首先，给出一个关于仿拓扑群可度量化问题.

问题4[10]设G 是具有点可数基（sharp 基或一致基）的正则仿拓扑群，则G 是可度量化？

问题5[4]是否每一具有可数序基的仿拓扑群是可展空间？

问题 6[19]设 G 是仿拓扑群.若 G 具有（闭）拷贝 Sω，那么 G 具有（闭）拷贝 S2？

关于仿拓扑群的分离性方面，我们有如下问题：

问题7[24]设G 是局部正规的仿拓扑群，则G 是正规？

关于仿拓扑群的若可数公理方面，下面是一个重要的公开问题.

问题8[17]设G 是正则T1双序列的仿拓扑群，则G 是第一可数？

关于自由仿拓扑群方面，具有如下的公开问题：

问题9[15]设Y 是层空间（度量空间）X 的子空间，则FP（Y）是FP（X）仿拓扑群子群？

问题10[15]设X 是度量空间，则FP（X）（AP（X））是仿紧空间？ 特别地，X 是不可数紧度量空间呢？