半群的带限度（λ，μ）-双极值模糊双理想

2019-12-27王丰效

天津师范大学学报（自然科学版） 2019年6期

王丰效

（喀什大学数学与统计学院，新疆喀什 844000）

模糊集理论已被广泛应用于许多领域，作为经典模糊集的推广，双极值模糊集、区间值模糊集、直觉模糊集等理论也被应用于许多代数系统，如，群、半群、环、坡代数和 N（2，2，0）代数等[1-4].半群是一类应用广泛的代数系统，模糊半群理论在许多领域具有重要的作用[5-7].文献[8]将模糊集应用于半群，研究了半群的几类模糊理想的特征.谢祥云等[9]的专著中详细介绍了模糊半群理论.文献[10-11]分别讨论了半群的反模糊子半群和区间值反模糊子半群的特性.文献[12-13]分别讨论了半群的区间值模糊子半群和区间值模糊理想的相关特性. 作为模糊子半群和模糊理想的推广，带限度（λ，μ）的模糊子半群和模糊理想被应用于半群等代数系统[14-16]. 本文将双极值模糊集应用于半群，引入了半群的带限度（λ，μ）-双极值模糊双理想和（λ，μ）-双极值模糊广义双理想的概念，并研究了它们的相关性质，给出了半群的（λ，μ）-双极值模糊双理想与模糊双理想及半群的双理想的关系.

1 预备知识

定义1[9]设“·”是集合S 的一个二元运算，如果对任意 x、y、z∈S，有

则称（S，·）为一个半群.为方便，二元运算x·y 简记为xy.

定义2[9]设S 是一个半群，S 的非空子集T 称为S 的子半群，如果T2⊆T.S 的非空子集T 称为S 的左理想（右理想），如果 ST⊆T（TS⊆T）.如果 T 既是 S 的左理想，又是S 的右理想，则称T 为S 的理想.S 的非空子集T 称为S 的广义双理想，如果TST⊆T.如果T既是S 的广义双理想，又是子半群，则称T 为S 的双理想.

定义 3[15]设 0≤α ＜ β≤1. μ 是半群 S 的模糊集，如果对任意 x、y∈S，有 μ（xy）∨α≥μ（x）∧μ（y）∧β，则称 μ 为 S 的（α，β）-模糊子半群. 如果对任意 x、y、z∈S，有 μ（xyz）∨α≥μ（x）∧μ（z）∧β，则称 μ 为 S 的（α，β）-模糊广义双理想.如果 μ 既是半群 S 的（α，β）-模糊子半群，又是（α，β）-模糊广义双理想，则称μ 为半群 S 的（α，β）-模糊双理想.

非空集合 X 的双极值模糊集定义为A=[φ-A，φ+A]，这里 φ+A：X→[0，1]和 φ-A：X→[-1，0]是 X 上的映射.设 A=[φ-A，φ+A]是 X 的双极值模糊集，记

设 A=[φ-A，φ+A]和 B=[φ-B，φ+B]分别是非空集合 X和Y 上的双极值模糊集，定义A 和B 的直积为A×B=[φ-A×B，φ+A×B]，其中对任意的（x，y）∈X×Y，有

非空集合X 上的模糊集为映射μ：X→[0，1].X 的区间值模糊集为 A：X→D[0，1]，其中 D[0，1]是区间[0，1]的子区间构成的集合，如果子区间退化为一个点，则区间值模糊集就是通常的模糊集.X 的双极值模糊集为A：X→[-1，0]×[0，1].可见，区间值模糊集和双极值模糊集都是模糊集的推广.

定义 4[4]设 A=[φ-A，φ+A]是半群 S 上的双极值模糊集，如果对任意的 x、y、z∈S，有

则称 A=[φ-A，φ+A]为半群 S 的双极值模糊双理想.

2 半群的（λ，μ）-双极值模糊双理想

定义 5设 A =[φ-A，φ+A]是半群 S 的双极值模糊集，如果对任意 x、y、z∈S 和 0≤λ ＜ μ≤1，有

则称 A=[φ-A，φ+A]为半群 S 的（λ，μ）-双极值模糊双理想.

定义 6设 A =[φ-A，φ+A]是半群 S 的双极值模糊集，如果对任意 x、y、z∈S 和 0≤λ ＜ μ≤1，有

则称 A=[φ-A，φ+A]为半群 S 的（λ，μ）-双极值模糊广义双理想.

由定义 5 和定义 6 可知，半群的（λ，μ）-双极值模糊广义双理想一定是（λ，μ）-双极值模糊双理想.

以下总假定0≤λ ＜μ≤1.

例设 S={a，b，c}，定义 S 的二元运算“·”如下

则（S，·）是半群.定义 S 的双极值模糊集 A 为

则 A=[φ-A，φ+A]为 S 上的（0.2，0.8）-双极值模糊双理想.定义S 的双极值模糊集B 为

则 B=[φ-B，φ+B]为 S 上的（0.2，0.9）-双极值模糊双理想，但 B=[φ-B，φ+B]不是 S 上的双极值模糊双理想.

定理1半群的双极值模糊双理想一定是（λ，μ）-双极值模糊双理想.

证明设 A=[φ-A，φ+A]是半群 S 上的双极值模糊双理想，则对 x、y、z∈S，有

从而有

类似可得

因此 A=[φ-A，φ+A]是半群 S 上的（λ，μ）-双极值模糊双理想.

定义 5 中若取 λ =0，μ =1，则半群的（λ，μ）-双极值模糊双理想就是双极值模糊双理想. 定理1 也表明，半群的（λ，μ）-双极值模糊双理想是双极值模糊双理想的推广.

定理2设X 是半群S 的双理想，则存在半群S上的（λ，μ）-双极值模糊双理想 A，使得 A 的（α，β）水平截集 C（A，（α，β））=X.

证明设X 是半群S 的双理想，对于任意的（α，β）∈[-1，0]× [0，1]，定义 S 上的双极值模糊集 A 满足：若x∈X，则φ+A=β，φ-A=α；若x∉X，则φ+A（x）=0，φ-A（x）= 0. 因此有 N（A，α）= X，P（A，β）= X，即C（A，（α，β））=X.

先证明A 满足定义5 的（1），分2 种情况.

（1）若 x、y∈X，则 xy∈X，则有

因此有

（2）若x∉X 或者y∉X，则φ+A（x）=0，φ-A（x）=0或φ+A（y）=0，φ-A（y）=0，则有

因此对任意的x、y∈S，有

再证明A 满足定义5 的（2），分2 种情况.

（1）若 x、y、z∈X，则 xyz∈X，则有

因此有

（2）若x∉X 或者z∉X，则φ+A（x）=0，φ-A（x）=0或φ+A（z）=0，φ-A（z）=0，则有

因此对任意的 x、y、z∈S，有

综上，A 是半群 S 上的（λ，μ）-双极值模糊双理想.

推论1设X 是半群S 的广义双理想，则存在半群 S 上的（λ，μ）-双极值模糊广义双理想 A，使得 A 的（α，β）水平截集 C（A，（α，β））=X.

定理3设A 是半群S 的双极值模糊集，则A 是半群S 的（λ，μ）-双极值模糊双理想，当且仅当对任意的（α，β）∈[-1，0]× [0，1]，λ≤β≤μ，-μ≤α≤-λ，非空集 C（A，（α，β））=X 是半群 S 的双理想.

证明（必要性）对任意的 x、y∈C（A，（α，β））=N（A，α）∩P（A，β），有φ-A（x）≤α，φ-A（y）≤α，φ+A（x）≥β，φ+A（y）≥β.由于A 是半群S 的（λ，μ）-双极值模糊双理想，因此有

故有 φ+A（xy）≥β，φ-A（xy）≤α. 因此 xy∈P（A，β），xy∈N（A，α）.故 xy∈C（A，（α，β）），从而 C（A，（α，β））是 S的子半群.

对任意的x、z∈C（A，（α，β）），有φ-A（x）≤α，φ-A（z）≤α，φ+A（x）≥β，φ+A（z）≥β.由于A 是半群S 的（λ，μ）-双极值模糊双理想，因此有

故有φ+A（xyz）≥β，φ-A（xyz）≤α.因此xyz∈C（A，（α，β）），从而 C（A，（α，β））是 S 的广义双理想.

综上可知 C（A，（α，β））是半群 S 的双理想.

（充分性）设非空集 C（A，（α，β））是半群 S 的双理想.假设存在 a、b∈S 满足

取（α，β）∈[-1，0]× [0，1]，满足 λ≤β≤μ，-μ≤α≤-λ，以及

则有φ+A（a）＞β，φ+A（b）＞β，并且φ-A（a）＜α，φ-A（b）≤α.因而 a、b∈P（A，β），a、b∈N（A，α），但是 ab∉P（A，β）且 ab∉N（A，α）.由于 C（A，（α，β））是半群 S 的双理想，所以 a、b∈C（A，（α，β）），这与 ab∉C（A，（α，β））矛盾.故假设不成立，即对任意的x、y∈S，有