提高空间想象能力的“三个妙招”

苏汉杰 田雪

数学中的空间想象能力是指对物体或图形的形状、大小、结构和位置关系的想象能力.从平面几何到立体几何，不论是图形还是概念的拓展变化，对学生来讲都是难点，很多学生不易建立空间概念，在头脑中难以形成较为准确、直观的几何模型以及线面之间的位置关系.在立体几何教学时可以通过下面“三个妙招”提高学生的空间想象能力.

一、借助实物、模型提高对空间图形的认识能力

识别空间图形不能完全凭直观，特别是刚开始学习时更是这样.因为空间图形中的直观图不可能在平面内完全真实表现出相应的几何实体，最多能看到一些元素的位置关系：如平行、相交、从属等关系，而对垂直、线段的长短、角的大小关系，往往难于从图形中直观看到.可是，学生往往习惯凭图形中的直观地看到某些線段或角的不等而否认相等的事实，就不能完全直观地看出它的相等的线段和角.因此，必须加强识图的训练，例如，在学习时对照身边的实物（图1、图2），借助几何模型，建立起实体与图形之间的正确关系，逐步积累识别立体几何直观图的经验;在做习题时，根据题设条件和有关知识进行分析，去判断图形中的各种关系，这时，同样可以借助身边的一些实物或者自己做的几何模型，来帮助理解题目中的立体几何图形和空间线面关系.

图1

图2

二、通过画图、识图提高对空间图形的理解能力

学生必须学会画空间图形的基本规律、方法和技巧，总结出画各种基本图形的规范和方法，这是画复杂的空间图形的基础，要区分平面几何与立体几何图形的差异（画立体图形最常用的方法是斜二测画法），在掌握了画图的基本方法和技能的基础上，应逐步减少实物、模型的运用，独立画一些复杂的直观图（比如，正六棱柱，简单的组合体等），不断巩固提高画空间图形的技能技巧，对常见的几何体，如长方体、正方体、三棱柱、三棱锥、四棱锥等，要能够很快画出简图，并力求准确美观;对画出的几何直观图，要能够准确的辨别几何体以及其中的线面关系.在画图和识图的过程中，学生对几何体及空间线面关系的认识就会更加深入.

三、利用平面图形和立体图形的“转化”提高逻辑思维能力

（一）平面到立体的“转化”.学生在初中学习过平面几何，并能够根据学习的相关定理对一些简单的平面几何问题进行推证和求解.运用平面几何有关知识作素材，通过联想、对比与类比，使思维从平面拓展到空间，这是学好立体几何的基础和根源.

（二）立体到平面的“转化”.立体几何中的平行和垂直的证明，最终又要回到平面上来;异面直线成角、线面角、二面角最终都会转化成平面上两条直线成角问题来解决，平面图形中的三角形和四边形仍然是解决这些问题最常见的载体.这些例子说明，立体几何问题不仅可以转化为平面几何问题来研究，而且其推理和解决问题的思想和方法也有很多相似之处.这也符合人们把复杂问题（立体几何问题）转化为简单问题（平面几何问题）来解决的思路方法.

（三）平面与立体的“不同”.在学习过程中，掌握平面几何的概念、定理推广到立体几何，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究的思想方法的同时，要注意平面几何与立体几何中的有关概念、定理的区别和联系.空间和平面图形的概念和性质，有相同的，有类似的，也有不同的.例如，关于两直线平行的定义，在平面和空间是完全一致的，而对垂直，不同点是在平面内必是相交垂直，而在空间可以是相交垂直，也可以是异面垂直;又如，命题“垂直于同一条直线的两直线平行”在同一面内必成立，但在空间就不一定成立了（墙角的三条线就是两两垂直的），通过这样的对比，能够有效地纠正自己随便将平面图形搬到空间上来的错误，认识到平面与立体也有“不同”.