“分数”有这么难吗 ?

黄国忠

学生从认识自然数到认识分数是认识数的一次飞跃，“分数”一直是小学数学教学的难点，是因为自然数的确定性和分数的相对性之间的矛盾。认识分数跨不过单位“1”，单位“1”是变化的，可以是单数意义的“1”，也可以是复数意义的单位“1”。弗赖登塔尔说，“分数”是个代数概念。同一个分数可以表示不同的数量，不同的分数也可以表示同一个数量，同一个数量也可以表示成不同的分数。正因为分数是相对于单位“1”的代数概念，所以学生在认识分数的时候，的确遇到了很大的困难，那该怎么办呢？

建立“分数”数学模型

分数概念数学模型是把单位“1”平均分成 x份，表示这样 y份的数，也就是 Y/X。我们可以设计四个教学环节建立“分数”的数學模型。

环节一 想想、说说（例1）

用分数表示涂色部分，并说说想法？意在让学生认识到一个物体，一个图形，一个计量单位以及一个整体，都可以用自然数“1”表示，抽象出单位”1“的概念。通过讨论、交流，丰富学生对单位“1“的表象，理解单位“1”可大可小，可多可少。

环节二 分分、涂涂（练习六第 2题）

改题：有一盒桃子，要拿出它的 2/3，你猜一猜这盒桃子可能有几只？学生要猜出有几只桃子，要有数学层面的思考，拿出它的 2/3，拿出的桃子肯定是整数个，那桃子的个数就一定是 3的倍数，所以可以是 3、6、9、12个等。再让学生“分一分，涂一涂”，提问：这四幅图都表示所圈出桃子的2/3，为什么涂色桃子的个数却不同？意在让学生体会到虽然 2/3都表示平均分成 3份，取其中的 2份，但因为单位“1”的不同，所表示的具体数量也是不同的。

环节三分分 ，写写（请先分，再用不同分数表示涂色部分。）

提问单位“1”、涂色正方形个数都一样，为什么表示的分数却各不相同呢 ？让学生明白要用一个分数准确的表示，我们既要关注单位“1”是什么，还要关注单位“1”被平均分成了几份，表示了这样的几份。

环节四 -----看看，理理

出示长方形，把它看作单位 "1"，如果平均分成 2份 ，可以想到哪些分数 ？你怎么想的？平均分成 3份，4份，5份，100份，1000份呢？然后抽象出分数意义以及分数单位的概念。

“分数意义”这句话非常的严谨、枯燥、抽象，如何让学生理解分数概念，建立分数概念的数学模型呢？通过动手操作，数形结合，比较辨析等形式帮助学生去认识，去感悟，把“分数的意义”变化的、直观的展示给学生看，以便建立分数概念的数学模型。

建立“分数”与“整数”的联结

学生对整数的认识已建立了自己的知识体系，在学生认识分数之前已有了认知基础。分数与整数联结的缺失，导致了学生认知分数的困难。如果学生能够在早已熟知的整数的基础上接受分数，分数就没有什么特别的了。分数与整数之间是相互联系的，它们之间是相通的，利用它们的联结点，把“分数概念”和“整数概念”巧妙地联结起来，沟通它们之间的联系，然后由“分数实际问题”过渡到“整数实际问题”，那么学生解答“分数实际问题”也

就容易多了。分数与整数有哪些联结点呢？

联结点一 单位“1”与“1份数”

分数的单位“1”是变化的，可以是单数意义的“1”，也可以是复数意义的单位“1”，单位“1”的变化决定了“分数”是个代数概念。其实，整数也不确定，也具有相对性，它是相对于“1份数”（标准）的代数概念。“梨重量是苹果的 3倍”。如果把“1千克”定为“1份数”（标准），梨重量是这样的 3份，就是 3千克;如果把“5千克”定为“1份数”（标准），梨重量是这样的 3份，就是 15千克。“整数”的“1份数”（标准）也是可以变化的。可以看出单位“1”与“1份数”都是一个标准，分数的单位“1”也就是整数的“1份数”。所以利用整数与分数的这个联结点展开教学，沟通单位“1”与“1份数”的联系，让学生认识到分数是整数的延续和扩充，学生解答“分数实际问题”也就容易多了。

在教学完五年级下册的“求一个数是另一个数的几分之几的实际问题”后，我设计了这样一组对比练习。

先出示： 3个苹果。

出示：2个梨，提问：梨是苹果的几分之几？ [梨与苹果比，苹果是单位“1”（标准），梨是苹果的2/3。]

出示：3个梨，师引导：如何提问？（梨是苹果的几分之几？）可以吗？（可以）梨是苹果的几分之几？（梨是苹果的3/3。）3/3等于多少？（3/3 =1）所以还可以说梨是苹果的 1倍。

上面几个问题都是把谁看作单位“1”的？你觉得“1份数”与单位“1”有联系吗？（它们都是标准，“1份数”与单位“1”实质是一样的。）那有什么区别？（当我们设定了一个标准后，以前用整数表示倍数关系，现在当与设定的标准比较的结果不够 1时，我们可用小于 1的分数表示;当与设定的标准比较的结果大于、等于 1时，我们可以用大于、等于 1的分数表示，如果是标准的倍数，这个分数可以化成整数。）

单位“1”与“1份数”联结的建立，是用“整数实际问题”的思维方式去解答“分数实际问题”的基础。当学生抓住单位“1”与“1份数”联结点，建立起单位“1”与“1份数”联结后，学生就会延续“整数实际问题”的解答方式去思考“分数实际问题”。

联结点二 “几倍”与“几分之几”

分数有两种不同的身份，既可以表示具体的数量，也可以表示分率，其实，整数也有两种这样的身份。比如：小明家里养了 3只鸡，养的鸭是鸡的 3倍。前面的 3只是个具体的数量，后面的 3倍，是一种倍比关系，也就是鸭与鸡的比是 3：1。猪重量是牛的 1/2，反过来牛的重量就是猪的 2倍。鸭是鸡的 3倍，则鸡就是鸭的1/3。“几倍”和“几分之几”它们实际上都是倍比关系，是可以相互转化的，完全可以把“几分之几”和“几倍”紧密的联结起来，进行对比教学。所以，教学时可以抓住整数与分数的这个联结点，来展开“分数乘、除法应用题”的教学。

比如：六年级上册“简单的分数乘法实际问题”可以应用分数乘法意义与整数乘法意义的内在联系进行教学。

出示：一瓶牛奶 250毫升

妈妈买了 3瓶牛奶，3瓶一共是多少毫升？ [“3瓶是多少毫升”，就是求 250毫升的 3倍是多少。求一个数的几倍是多少，用乘法计算， 250X3=750（毫升）]

小明喝了 2/5瓶，小明喝了多少毫升？ （方法 1、250÷5X 2）

教师引导：“几分之几”和“几倍”都表示倍数关系，既然“求一个数的几倍是多少”用乘法计算，那“求一个数的几分之几”还可以如何解答？ [方法2、“2/5瓶是多少毫升”，就是求 250毫升的 2/5是多少，所以用乘法计算，250X2/5=50（毫升）]

学生弄清楚“几倍”与“几分之几”之间的内在联系，建立起几倍”与“几分之几”的联结后，从“整数乘、除法的实际问题”过渡到“分数乘、除法的实际问题”也就顺畅多了。学生自然而然的把“分数实际问题”作为“整数实际问题”的延伸，克服了学生学习“分数实际问题”的一个难点，为学生以后学习“复杂分数实际问题”打下了扎实的基础。

在学生认识分数时一定要突出分数概念是对整数概念的一次扩充，抓住概念之间的联结点，弄清知识的来龙去脉与纵横联系，让学生完善认知结构，逐步建立分数与整数概念的联结，用原有整数的认知体系来认识分数，让学生觉得分数没什么特别。然后教学“分数的实际问题”时，要利用好分数与整数之间的内在联系，克服认知上的困难，弥合两者之间的割裂状态，使学生真正掌握好“分数实际问题”。

（苏州高新区文正小学）