妙用“不变量”的最小公倍数

江丽芳

在解答一些有关比的复杂的应用题时，如果善于从已知条件中找出“不变量”，然后求出“不变量”的最小公倍数，使“不变量”的份数相同，那么复杂的问题就会迎刃而解。“不变量”要根据具体题目确定，可能是其中的某一个数量，也可能是总量，还可能是某两个量的差。

【例1】甲、乙两个班原有图书本数的比是5：6，如果甲增加125本，这时两个班图书本数的比是5：4。两个班原来各有图书多少本？

【分析与解】由题意可知，乙班的图书本数没有变。乙班的图书本数是“不变量”，但份数变化了，原来是6份，现在是4份。如果能使这两种情况中乙班的图书份数相同，问题就能迎刃而解。我们先求出6和4的最小公倍数12。

原来：甲：乙=5：6=10：12

现在：甲：乙=5：4=15：12

这样在两种不同的情况中，乙班的份数都是12份。由此可知，甲增加的125本，相当于15-10=5（份），每份数是125÷5=25（本）。所以，甲班原来图书本数就是25×10=250（本），乙班原来图书本数就是25×12=300（本）。

【例2】甲、乙两袋大米原来的重量比是4：3，如果从甲袋取20千克放入乙袋中，这时甲、乙两袋大米的重量比是1：1。原来甲、乙两袋大米各多少千克？

【分析与解】由题意可知，虽然甲、乙两袋大米都发生了变化，但两袋大米的总重量没有变化。总重量是“不变量”，但总份数发生了变化。原来的总份数是4+3=7（份），现在的是1+1=2（份）。我们不妨借用“不变量”的最小公倍数，即借用总份数7和2的最小公倍数14来巧解题。

原来：甲：乙=4：3=8：6

现在：甲：乙=1：1=7：7

这样就使得两种情况的总份数都是14份。由此可知，对甲袋而言，减少20千克的大米，相当于减少了8-7=1（份），每份是20÷1=20（千克）。所以，原来甲袋有大米20×8=160（千克），乙袋有大米20×6=120（千克）。

【例3】甲、乙两件衣服原来的价格比是7：4，后来两件衣服都降价140元，两件衣服的价格比是7：2。甲、乙两件衣服原来的价格是多少元？

【分析与解】因为甲、乙两件衣服都降价140元，所以降价前后两件衣服的价格差不变。价格差是“不变量”，但价格差的份数发生了变化。降价前两件衣服的价格差为7-4=3（份），降价后两件衣服的价格差为7-2=5（份），如果能使降价前后的价格差的份数相同，问题也就解决了。3和5的最小公倍数是15。

原来：甲：乙=7：4=35：20

现在：甲：乙=7：2=21：6

这样降价前后的价格差都是15份。由此可知，甲衣服的价格下降140元，也就是降价了35-21=14（份），每份是140÷14=10（元）。所以，甲衣服的价格是10×35=350（元），乙衣服的价格是10×20=200（元）。