数学建模在中年女性减脂营养早餐搭配中的应用

钱丽丽

摘  要：数学建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段，它是根据实际问题来建立数学模型，利用软件程序等方式求解模型并将结果运用到实际生活中。文章从女性所热衷的减脂话题着手，运用数学建模的思想方法讨论中年女性减脂早餐的搭配问题，充分发挥数学建模应用价值。

关键词：数学建模;中年女性;减脂营养早餐;摄入量

中图分类号：O141.4 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2019）34-0164-03

Abstract： Mathematical modeling is an important means to solve practical problems by using mathematical tools. It establishes a mathematical model according to practical problems， uses software programs to solve the model， and applies the results to real life. Starting from the topic of fat loss which women are keen on， this paper discusses the collocation of fat loss breakfast for middle-aged women by using the thought method of mathematical modeling， so as to give full play to the application value of mathematical modeling.

Keywords： mathematical modeling; middle-aged women; fat-reducing nutritional breakfast; intake

1 概述

女性進入中年以后，生理机能开始下降，新陈代谢速度减缓，再加上平时缺乏运动，使得人体摄入的热量大于消耗，引发肥胖。据一项调查显示，约80%的中年女性易发福。因此，不管是从形体还是健康角度考虑，大部分的中年女性都有不同程度的减肥需求。健康、安全、有效的减肥一定要做到：均衡的营养+控制摄入的热量。均衡营养是指遵循膳食指南的要求，丰富食物的品种，根据各食物所含的营养成分协调摄入的比例，保证人体每天所需的营养素;控制热量的摄入是指在运动减脂的同时控制摄入食物的总热量。

本文以中国营养学会所提供的各食物所含营养成分、热量等数据为依据、以其对人体三大主要营养素（蛋白质、脂肪和碳水化合物）及膳食纤维每天需求量的推荐，对身体处于Ⅱ级①、有减脂需求的中国中年女性的早餐进行搭配设计，建立相应的数学模型，运用MATLAB软件计算出减肥早餐中的各食物的摄入量，以确保健康、有效的减脂效果，充分发挥数学建模的应用价值。

2 概念界定

2.1 数学建模

数学建模是根据实际问题来建立数学模型，利用软件程序等方式来进行求解，并将获得的结果运用到实际生活中。本文从模型准备、模型假设、模型构成与求解、模型检验、模型修改这几个步骤来实现数学建模;运用MATLAB数学软件对构建的模型进行求解和分析。

2.2 减脂营养早餐

减脂营养早餐是在满足人体早餐所需各营养素的前提下，减少总热量的摄入。比如可挑选一些低脂肪、低热量、富含优质蛋白的食物，但至少要包含碳水化合物、脂肪、蛋白质和膳食纤维。所以在早餐中我们只要准备主食、牛奶、鸡蛋和蔬果就可以基本满足营养摄入均衡了。其中主食可以选择糙米饭、杂粮粥、全麦面包和薯类等，鸡蛋最好是水煮或无油煎熟，奶制品可以选择脱脂或低脂牛奶。

2.3 摄入量

这里的摄入量是指早餐中每一种食物摄入的质量。中年女性在决定健康减脂的同时往往还想知道自己需要坚持多少时间可以减重多少，需要坚持多久能达到自己的理想体重。所以为了保证减脂的时效性，就有必要对摄入的各种食物进行合理搭配并计算其相应的质量。

3 问题提出

假设某人某天的减脂营养早餐搭配为全麦面包、水煮鸡蛋、低脂牛奶和菠菜。那么这几种食物大概各需要摄入多少量可以既满足营养均衡又能保持在一个理想范围内的能量摄入？

3.1 模型准备

数据参考1：

（1）根据中国营养学会推荐的处于35～45周岁年龄

段、身体活动水平处于Ⅱ级的中国中年女性一天对食物摄入热量需求约为1800千卡，对有减脂需求的成年人，建议每天摄入的热量可减少300～500千卡，即一天摄入1300～1500千卡，如果按照这个数据坚持下来每周能减重1kg左右。

（2）早、中、晚餐建议的热量摄入配比为30%、40%、

30%，由此可推算出：文中的中年女性减脂营养早餐摄入的热量在390～450千卡。

（3）中国营养学会还建议减肥人群日常膳食中蛋白质、脂肪与碳水化合物一天的供能比为20%～30%、20%～25%、45%～60%。膳食纤维一天的摄入量为25～35克，减脂早餐中膳食纤维的摄入量约为7.5～10.5克。

（4）1克蛋白质在体内能产生4千卡的热量，1克脂肪则可产生9千卡的热量，1克碳水化合物可产生4千卡的热量，而膳食纤维几乎不产生热量。

数据参考2（见表1）。

3.2 模型假设

（1）减脂早餐中蛋白质含量可以多一些，故假设三大营养素供能比按25%，20%，55%计算。（2）中年女性减脂早餐摄入能量按照中间值420千卡计算。（3）减脂早餐中的膳食纤维以9克计算。

现假设中年女性在早餐中对蛋白质、脂肪和碳水化合物的摄入量分别为a克，b克，c克，根据三大营养素的供能比和能量总和，可得方程组①

（1）4a：9b：4c=25%：20%：55%

（2）4a+9b+4c=420

解得：a=26.25b=9.33c=57.75

在中年女性的减脂早餐中对三大营养素的需求量分别为26.25克，9.33克，57.75克。

3.3 模型建立与求解

解决营养餐的搭配问题目前比较常规的方法是用线性方程组。即“把各食物中所含的某种营养素之和=人体对该营养素的所需”作为等量关系来考虑。

设早餐中全麦面包、水煮鸡蛋、低脂牛奶和菠菜的摄入量依次为x1，x2，x3，x4克，根据表一中各食物所含营养成分以及模型假设中中年女性的减脂早餐对三大营养素和膳食纤维需求量，建方程组：

0.091×x1+0.133×x2+0.029×x3+0.021×x4=26.25

0.017×x1+0.088×x2+0.013×x3+0.002×x4=9.33

0.433×x1+0.028×x2+0.047×x3+0.028×x4=57.75

0.07×x1+0.014×x4=9

模型求解

>> A=[0.091  0.133  0.029  0.021;

0.017  0.088  0.013  0.002;

0.433  0.028  0.047  0.028;

0.07     0      0   0.014];

b=[26.25;9.33;57.75;9];

x=inv（A）*b

x =

85.4591

42.0809

287.9198

215.5618

數据显示，按照上面的模型，全麦面包、鸡蛋、低脂牛奶和菠菜的摄入量约为85.5克、42克、287.9克和215.6克。这里85.5克的全麦面包约为两片，42克的鸡蛋约为一个水煮鸡蛋的量（去壳），287.9克的牛奶约为278毫升，215.6克的菠菜大约为一盘子的量。当然，如果不想吃很多菠菜，可以外加一个水果来替换其中一部分，让早餐的营养更加均衡。

3.4 模型检验

用线性方程组解决减脂营养早餐的搭配问题既方便又快捷，但也有弊端。首先，线性方程组必须有唯一解，如果出现无解或者不定解，那必须要增减食物的数量或所考虑的营养素种类来调整解的情况;其次，模型中的变量值代表的是各食物的摄入量，其值必须为非负数，但在方程组中难以把这条件进行限定;最后，方程组中任何一个系数或常数的微调都可能对实际计算出的结果产生较大的影响，比如把方程组①中的第二个方程“4a+9b+4c=420”等式右边的值“420”用390～450千卡之间的某个数值去替代，计算出的三大营养素的需求量并代入到方程组②，同时把膳食纤维的摄入量用7.5～10.5克的某个值替代，发现求得的结果之间差距比较大。

因此对用线性方程组求解营养餐的搭配问题需要进行修改和完善来避免以上的几个问题。

3.5 模型修改

减脂早餐的能量摄入只要控制在一定的范围内都能起到减脂的效果，所以可以考虑用不等式的方法来估算早餐食物的摄入量。在方程组①中，分别用能量摄入最大值450千卡和最小值390千卡替代420千卡，从而计算出当早餐中的蛋白质、脂肪和碳水化合物的含量分别为24.375～28.125克， 8.666～10克， 53.625～61.875克时可以满足中年女性在减脂期间对三大营养的需求。结合减脂早餐中膳食纤维的摄入量约为7.5克～10.5克，建立新的不等式组③

③

用MATLAB解线性不等式组③，可以转化为求解线性规划问题。③式可看成线性规划问题中的约束条件，再另外拟定一个适当的目标函数。由于问题讨论的是在满足基本营养素需求的基础上控制能量的摄入值，故可以把这摄入的四种食物产生的总能量拟定为目标函数， 即f=2.27x1+1.44x2+0.43x3+0.21x4，由于线性规划讨论的是在满足线性不等式组（约束条件）的前提下，求目标函数的最值问题，可并分别计算目标函数的最小值和最大值。其程序编写如下：

程序编写1

>> f=[2.27  1.44  0.43  0.21];

A=[0.091  0.133  0.029  0.021;  -0.091  -0.133  -0.029  -0.021;  0.017  0.088  0.013  0.002;  -0.017  -0.088  -0.013  -0.002;  0.433  0.028  0.047  0.028;  -0.433  -0.028  -0.047  -0.028;  0.07  0  0  0.014;  -0.07  0  0  -0.014;  2.27  1.44  0.43  0.21;  -2.27  -1.44  -0.43  -0.21];

b=[28.125; -24.375; 10; -8.666; 61.875; -53.625; 10.5; -7.5; 450; -390];

lb=zeros（4，1）;

[x，fval]=linprog（f，A，b，[]，[]，lb）

Optimization terminated.

x =

100.2733

69.3606

27.7196

248.6334

fval =391.6321

程序編写2

>> f=[-2.27  -1.44  -0.43  -0.21];

>> A=[0.091  0.133  0.029  0.021;  -0.091  -0.133  -0.029  -0.021;  0.017  0.088  0.013  0.002;  -0.017  -0.088  -0.013  -0.002;  0.433  0.028  0.047  0.028;  -0.433  -0.028  -0.047  -0.028;  0.07  0  0  0.014;  -0.07  0  0  -0.014;  2.27  1.44  0.43  0.21;  -2.27  -1.44  -0.43  -0.21];

b=[28.125; -24.375; 10; -8.666; 61.875; -53.625; 10.5; -7.5; 450;-390];

lb=zeros（4，1）;

[x，fval]=linprog（f，A，b，[]，[]，lb）

Optimization terminated.

x =

87.3351

38.3492

331.8714

256.2938

fval =-450.0000

数据显示，当全麦面包、鸡蛋、牛奶和菠菜的摄入量约100克、69克、28克和249克时可以产生最小的能量391.6千卡;当摄入量约为87克、38克、332克和256克时可以产生最大的能量450千卡。我们发现，在同等约束条件下，对目标函数分别求最大值和最小值，计算出的这四种食物对应的摄入量相差较大。为了缩小这种差距，得到更为标准的食物摄入量，我们考虑把约束条件中所有不等式的取值范围向中间缩小，即缩小了不等式组可行解的区域，这样不管是求目标函数的最大值还是最小值，所得变量的值都不会相差很大，如把上面程序中“b=[28.125;-24.375;10;-8.666;61.875;-53.625;10.5;-7.5;450;-390]”设置成“b=[26.125;-26;9.5;-9.2;58;-57.5;9.2;-8.9;423;-418]”（看每对数字绝对值的差距），分别计算得到目标函数的最大值和最小值，得到对应四种食物的摄入量分别为89.2克、47.1克、254.6克、205.9克和87.5克、44.2克、260克、219.6克这两组相似的数据，因此，我们认为摄入量控制在在这两组数据之间或附近的都是较为有效的减脂餐。和最初的建立的方程组模型②相比，用不等式组的模型来表达营养配餐问题既避免了方程组模型中可能会出现的诸多问题，同时也体现了减脂营养早餐搭配的灵活性。

以上模型讨论的减脂营养早餐的搭配比较简单（搭配种类在5种以下），如果要想营养更丰富均衡，也可以增加早餐的种类，但同时也要增加考虑其他营养素的标准摄入量。模型越复杂，用线性规划模型求解的优势就越明显。

4 结束语

本文用数学模型在大数据下解决了有减脂需求的中年女性的营养早餐搭配问题。当然，考虑的营养因素越全面，模型也会越复杂，早餐搭配也就变得越精细、标准。另外，该模型还可以推广：对一些饮食比较特殊的人群，如糖尿病人、孕妇以及生长发育期的少年儿童等，他们的饮食除了要营养均衡外，对食物的摄入量都有一定的限制。我们需要查阅相关的资料，收集数据，根据实际需要设定好一定的约束条件，建立与该模型相类似的数学模型，计算出食物相应的摄入比和摄入量。让更多的人都来关注自己的饮食，养成科学、健康的饮食习惯。

注释：

①以坐着工作为主，但由于上下班或工作要求，可以走路或接待顾客等.每天也会做一些家务和简单的运动。

参考文献：

[1]中国营养学会.中国居民膳食指南[M].人民卫生出版社，2016.

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].高等教育出版社，2011.

[3]马提宝.数学建模在高职数学教学中的应用分析[J].吉林广播电视大学，2012（8）：79-80.

[4]张颖.线性规划模型中MATLAB的求解实现[J].通化师范学院学报，2009（12）：13-14.