“三定”问题 高考解析几何的常客

杨文金

解析几何中的“三定”是定值、定点、定线问题，“三定”问题仍是高考考试的重点与难点，该类问题知识综合性强，方法灵活，对同学们的运算能力和推理能力要求较高，因而成为了高中数学学习的重点和难点.主要以解答题形式考查，往往处在倒数第二题位置，起到拉开距离，选拔优生的目的.一般以椭圆或抛物线为背景，考查定值、定点、定线问题，试题难度较大.定点、定值、定线问题都是探求“变中有不变的量”.因此要用全面的、联系的、发展的观点看待并处理此类问题.从整体上把握问题给出的综合信息，并注意挖掘问题中各个量之间的相互关系，恰当适时地运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法.在解答这类问题过程中，既有探索性的历程，又有严密的逻辑推理及复杂的运算，成为考查同学们逻辑思维能力、知识迁移能力和运算求证能力的一道亮丽的风景线，真正体现了考试大纲中“重知识，更重能力”的指导思想.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程（组）的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法;其次注意分类讨论思想、函數与方程思想、化归与转化思想等的应用.

一、解析几何中的定值问题

在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果;另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效.

例1 （2018年高考北京理）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2）.过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.

（1）求直线l的斜率的取值范围;

（2）设O为原点，QM=λQO，QN=μQO，求证：1λ+1μ为定值.

分析：（1）先确定p，再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=-3;（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得x1+x2=-2k-4k2，x1x2=1k2.再由QM=λQO，QN=μQO得λ=1-yM，μ=1-yN，利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简1λ+1μ可得结论.

解：（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x.

由题意可知直线l的斜率存在且不为0，

设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）.

由y2=4xy=kx+1得k2x2+（2k-4）x+1=0.

依题意Δ=（2k-4）2-4×k2×1>0，解得k<0或0

又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）.从而k≠-3.

所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）.

由（1）知x1+x2=-2k-4k2，x1x2=1k2.

直线PA的方程为y-2=y1-2x1-1（x-1）.

令x=0，yM=-y1+2x1-1+2=-kx1+1x1-1+2.

同理得点N的纵坐标为yN=-kx2+1x2-1+2.

由QM=λQO，QN=μQO，

得λ=1-yM，μ=1-yN.

所以1λ+1μ=11-yM+11-yN

=x1-1（k-1）x1+x2-1（k-1）x2

=1k-1·2x1x2-（x1+x2）x1x2=1k-1·2k2+2k-4k21k2

=2，

故1λ+1μ为定值.

点睛：定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.

二、解析几何中的定点问题

定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题，一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点.定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了.所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要.解题的关键在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.定点问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点问题的证明.难度较大.定点问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点.化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.解析几何中的“定点”问题一般是在一些动态事物（如动点、动直线、动弦、动角、动轨迹等）中，寻求某一个不变量——定点，这种问题涉及面广、综合性强.

例2 如图，设点P是椭圆E：x24+y2=1上的任意一点（异于左，右顶点A，B）.设直线PA，PB分别交直线l：x=103于点M，N.求证：以MN为直径的圆过x轴上的定点，请求出该定点.

思路：本题变化的几何元素有：动点P，M，N，动直线AP，BP及动圆.定点源自于动圆，动圆由M，N确定，引入参数表示出M，N的坐标，从而表示出动圆.

解析：（解法1）设kAP=k1，kBP=k2，P（x0，y0），

则AM：y=k1（x+2），M（103，163k1），

同理：N（103，43k2），

以MN为直径圆的方程为

（x-103）2+[y-（83k1+23k2）]2=（8k1-2k23）2

化简为

（x-103）2+y2-（163k1+43k2）y+649k1k2=0，

∵k1k2=y0x0+2·y0x0-2=y20x20-4=1-14x20x20-4=-14，

所以（x-103）2+y2-（163k1-13k1）y-169=0，

圓过x轴上定点，令y=0，则x=2，x=143，

即以MN为直径圆过定点为（2，0）和（143，0）.

点睛：解法1从“变化的元素为动直线入手”，设直线AP，BP斜率分别为k1，k2，用参数k1，k2表示动圆方程;引导同学们思考“含有两个参变量的圆的方程恒成立问题”，关键是寻找两个参变量之间的内在关系，此法中k1k2=-14，然后进行消元或者化简，将问题转化为一个含有参数方程恒成立问题进行求解.

（解法2）设P（x0，y0），x0≠±2，

则AM：y=y0x0+2（x+2），yM=163·y0x0+2，

同理：yN=43·y0x0-2，

以MN为直径圆的方程为

（x-103）2+（y-163·y0x0+2）（y-43·y0x0-2）=0，

化简为（x-103）2+y2-（163·y0x0+2+43·y0x0-2）y+649y20x20-4=0，

又P（x0，y0）在椭圆上x204+y20=1，

故圆的方程（x-103）2+y2-（163·y0x0+2+43·y0x0-2）y-169=0，

圆过x轴上定点，令y=0，则x=2，x=143，

即以MN为直径圆过定点为（2，0）和（143，0）.

点睛：解法2从“变化的元素为动点P（x0，y0）”入手，用参数x0，y0表示动圆方程;引导同学们思考“含有两个参变量的圆的方程恒成立问题”，关键是寻找两个参变量之间的内在关系，此法中x204+y20=1，然后进行消元或者化简，将问题转化为一个含有参数方程恒成立问题进行求解.

（解法3）设M（103，y1），N（103，y2），

由kAPkBP=-14，

即y1103+2·y2103-2=-14，y1y2=-169，

以MN为直径圆的方程为

（x-103）2+（y-y1）（y-y2）=0，

即（x-103）2+y2-（y1+y2）y-169=0.

令y=0，则x=2，x=143，

即以MN为直径圆过定点为（2，0）和（143，0）.

点睛：解法3从“变化的元素为动点M（103，y1），N（103，y2）”入手，用参数y1，y2表示动圆的方程，引导同学们思考“含有两个参变量的圆的方程恒成立问题”，关键是寻找两个参变量之间的内在关系，此法中y1y2=-169，然后进行消元或者化简，将问题转化为一个含有参数方程恒成立问题进行求解.

（解法4）当P（0，1）时，M（103，83），N（103，-23），

圆方程为（x-103）2+（y-1）2=259，

令y=0，则x=2，x=143，

即以MN为直径圆过定点为T1（2，0）和T2（143，0）.

再证明一般情况下成立即可.

由解法一知，M（103，163k1），N（103，43k2），

T1M·T1N=（43，163k1）·（43，43k2）

=169+649k1k2=169+649（-14）=0.

故以MN为直径圆是过定点T1（2，0），同理此圆过定点T2（143，0）.

点睛：先通过特殊化找到定点，再证明一般下情况成立，此法也是特殊到一般的解法，即先找后证.

（解法5）以MN为直径圆过x轴上定点，设定点为T（t，0）.

由解法三设M（103，y1），N（103，y2），得y1y2=-169，

由题意得TM·TN=0，（t-103）2+y1y2=0，

化简（t-103）2-169=0，

解得t=2或t=143，

即以MN为直径圆过定点为（2，0）和（143，0）.

点睛：本解法紧扣“定点在x轴上”，直接设出定点T（t，0），解法自然，过程简明快捷.

引申：若去掉“过x轴上”，本题又如何思考？

点睛：本题运用前面四种解法即可，虽然解法五不可以直接应用，但从对称性可知，动圆所过定点必在x轴上.

定点问题，实际上就是恒成立问题，选设合理的参变量刻画动量是解决定点问题的前提条件.引导同学们思考“含有两个参变量的圆的方程恒成立问题”，关键是寻找两个参变量之间的内在关系，然后进行消元或者化简，将问题转化为一个含有参数方程恒成立问题进行求解.

定点问题的解题处理方法有两种：一是设参数，用参数表示动曲线的方程，转化为含参方程恒成立问题;二是通过特殊位置先找后证.过程中所涉及的数学思想方法是化归思想，即转化思想，它能引导我们进行合理解题，快捷地寻找解题突破口，形成解题思路.

三、解析几何中的定线问题

定线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等.

例3 在平面直角坐标系xOy中，过点C（2，0）的直线与抛物线y2=4x相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）求证：y1y2为定值;

（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长;如果不存在，说明理由.

分析：（1）设出过点C（2，0）的直线方程，与抛物线方程联立消去未知数x，由根与系数关系可得y1y2=-8为定值;（2）先设存在直线l：x=a满足条件，求出以AC为直径的圆的圆心坐标和半径，利用勾股定理求出弦长表达式

2r2-d2=-4（1-a）x1+8a-4a2，

由表达式可知，当a=1时，弦长为定值.

解：（1）（解法1）当直线AB垂直于x轴时，

y1=22，y2=-22，因此y1y2=-8（定值）;

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k（x-2），

由y=k（x-2）y2=4x得ky2-4y-8k=0，

∴y1y2=-8，

因此有y1y2=-8为定值.

（解法2）设直线AB的方程为my=x-2，

由my=x-2y2=4x得y2-4my-8=0，

∴y1y2=-8，因此有y1y2=-8为定值.

（2）设存在直线l：x=a满足条件，则AC的中点E（x1+22，y12），AC=（x1-2）2+y21，

因此以AC为直径的圆的半径

r=12AC=12（x1-2）2+y21=12x21+4，

又E点到直线x=a的距离d=|x1+22-a|，所以所截弦长为

2r2-d2=214（x21+4）-（x1+22-a）2=x21+4-（x1+2-2a）2=-4（1-a）x1+8a-4a2，当1-a=0即a=1時，弦长为定值2，这时直线方程为x=1.

点睛：本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系，属难题;解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关;（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.