解析几何考点追踪

2019-12-20陶琦

中学课程辅导·高考版 2019年12期

从近几年的江苏新课标高考命题来看，解析几何主要考查直线方程、圆方程和圆锥曲线方程、直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线的有关性质，考题以两小一大形式出现，即两个填空题，一个解答题，小题主要考查解析几何的基础知识，解答题以解析几何综合题的形式出现，考查同学们综合应用解析几何知识解决问题的能力.那么在解析几何高考命题中，哪些是常考不衰的考点呢？

考点一、直线方程

直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：（1）一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以填空题为主;（2）主要是涉及直线方程和斜率，难度偏易或中等.

例1 （1）已知直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，3）为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 .

（2）已知直线l过点M（2，1），且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为 .

（3）已知直线l1：ax-2y=2a-4，l2：2x+a2y=2a2+4，若0

解析：（1）如图，因为kAP=1-02-1=1，kBP=3-00-1=-3，

所以直线l的斜率

k∈（-∞，-3]∪[1，+∞）.

（2）设直线l的方程为y-1=k（x-2）（k<0），则A（2-1k，0），B（0，1-2k），

S△AOB=12（1-2k）·（2-1k）

=12[4+（-4k）+（-1k）]≥12（4+4）=4，

当且仅当-4k=-1k，即k=-12时，等号成立.故直线l的方程为y-1=-12（x-2），即x+2y-4=0.

（3）直线l1可写成a（x-2）=2（y-2），直线l2可写成2（x-2）=a2（2-y），所以直线l1，l2恒过定点P（2，2），直线l1的纵截距为2-a，直线l2的横截距为a2+2，所以四边形的面积S=12×2×（2-a）+12×2×（a2+2）=a2-a+4=（a-12）2+154，故当a=12时，四边形的面积最小.

点评：（1）求解与直线方程有关的最值问题或范围问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值，也可利用数形结合法.

（2）求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.

考点二、圆的方程

圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质等是高考考查圆的基础知识时最常涉及的要素.大多以填空题的形式考查，有时也会穿插在解答题中，难度中等.

例2 圆心在直线x-2y-3=0上，且过点A（2，-3），B（-2，-5）的圆的方程为 .

解析：法一：（几何法）设点C为圆心，因为点C在直线x-2y-3=0上，所以可设点C的坐标为（2a+3，a）.又该圆经过A，B两点，所以|CA|=|CB|，

即（2a+3-2）2+（a+3）2=（2a+3+2）2+（a+5）2，解得a=-2，

所以圆心C的坐标为（-1，-2），半径r=10，

故所求圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=10.

法二：（待定系数法）设所求圆的标准方程为

（x-a）2+（y-b）2=r2，

由题意得（2-a）2+（-3-b）2=r2，（-2-a）2+（-5-b）2=r2，a-2b-3=0，

解得a=-1，b=-2，r2=10，

故所求圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=10.

点评：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程.

考点三、直线与圆的位置关系

本考点主要考查直线与圆的位置关系的判断，切线方程的求法和由直线与圆的方程求弦长或求参数，通常以填空题形式出现，难度中等.

例3 （1）若直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2-2x-3=0截得的弦最短，则直线l的方程是 .

（2）已知直线x-y+a=0与圆C：x2+y2+2x-4y-4=0相交于A，B两点，且AC⊥BC，則实数a的值为 .

解析：（1）依题意，直线l：y=kx+1过定点P（0，1）.圆C：x2+y2-2x-3=0化为标准方程为（x-1）2+y2=4.故圆心为C（1，0），半径为r=2.则易知定点P（0，1）在圆内.由圆的性质可知当PC⊥l时，直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2-2x-3=0截得的弦最短.因为kPC=1-00-1=-1，所以直线l的斜率k=1，即直线l的方程是x-y+1=0.

（2）由x2+y2+2x-4y-4=0得（x+1）2+（y-2）2=9，

所以圆C的圆心坐标为C（-1，2），半径为3，

由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，

故可得圆心C到直线x-y+a=0的距离为322，

由点到直线的距离公式可得|-1-2+a|2=322，解得a=0或a=6.

点评：对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆中的基础知识及它们之间的深入联系，如在讨论有关直线与圆的相交弦问题时，若能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍.而圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题.其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法.

考点四、圆锥曲线的方程

此考点要求同学们能用待定系数法求出圆锥曲线的标准方程，一般以选择题与填空题为主，同时也出现在解答题中，难度中等.

例4 （1）与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，且与圆C2：（x-3）2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为 .

（2）焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线y24-x2=1有相同渐近线的双曲线的标准方程是 .

解析：（1）设动圆的半径为r，圆心为P（x，y），则有|PC1|=r+1，|PC2|=9-r.所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|=6，即P在以C1（-3，0），C2（3，0）为焦点，长轴长为10的椭圆上，所以点P的轨迹方程为x225+y216=1.

（2）设所求双曲线的标准方程为y24-x2=-λ（λ>0），即x2λ-y24λ=1，则有4λ+λ=25，解得λ=5，所以所求双曲线的标准方程为x25-y220=1.

点评：求圆锥曲线方程有两种方法：定义法与待定系数法.利用待定系数法求圆锥曲线方程步骤如下：（1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是都有可能;（2）设方程：根据上述判断设出标准方程;（3）找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组;（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.

考点五、圆锥曲线的性质

本考点主要考查圆锥曲线几何性质的应用，如圆锥曲线的焦点，对称轴等，尤其是椭圆与双曲线的离心率问题，双曲线的渐近线问题，更是命题的重点，一般出现在选择题或填空题中，难度中等或中等偏上.

例5 （1）已知点F是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 .

（2）设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点为F，直线4x-3y+20=0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|=|OF|，则双曲线C的离心率为 .

解析：（1）若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF<45°，在Rt△AFE中，|AF|=b2a，|FE|=a+c，則b2a0，则e2-e-2<0，解得-11，则1

（2）根据直线4x-3y+20=0与x轴的交点F为（-5，0），可知半焦距c=5，设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|=|OF|且|OP|=|OF|可得，△PFF2为直角三角形，

如图，过点O作OA垂直于直线4x-3y+20=0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，又原点O到直线4x-3y+20=0的距离d=4，

所以|PF2|=2d=8，

|PF|=|FF2|2-|PF2|2=6，故结合双曲线的定义可知|PF2|-|PF|=2a=2，所以a=1，故e=ca=5.

点评：求圆锥曲线离心率关键是建立一个关于a，b，c的关系式，进而将这个关系式转化为关于离心率的方程或不等式，从而求出离心率的值或取值范围.而双曲线的渐近线，往往可以求双曲线方程和双曲线的离心率.

考点六、圆锥曲线综合性问题

圆锥曲线综合性问题，是历年高考考查的重点，常以解答题形式考查，该题通常以直线与圆锥曲线的方程为基础，结合有关概念及计算，要求考生将位置关系转化为相应的方程或方程组的解的讨论.具有一定难度.它主要包括与圆锥曲线有关的最值（取值范围）问题和与圆锥曲线有关的定值（定点）问题.

1.与圆锥曲线有关的最值（取值范围）问题

例6 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为22，且右焦点F到左准线的距离为62.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N.

（i）当直线PA的斜率为12时，求△MFN的外接圆的方程;

（ii）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△PAQ的面积的最大值.

解析：（1）由题意，得ca=22，c+a2c=62，

解得a=4，c=22，则b=22，

所以椭圆C的标准方程为x216+y28=1.

（2）由题可设直线PA的方程为y=k（x+4），k>0，则M（0，4k），

所以直线FN的方程为y=224k（x-22），则N（0，-2k）.

（i）当直线PA的斜率为12，即k=12时，M（0，2），N（0，-4），F（22，0），

因为MF⊥FN，所以圆心为（0，-1），半径为3，

所以△MFN的外接圆的方程为x2+（y+1）2=9.

（ii）联立y=k（x+4），x216+y28=1，消去y并整理得，

（1+2k2）x2+16k2x+32k2-16=0，

解得x1=-4或x2=4-8k21+2k2，所以P（4-8k21+2k2，8k1+2k2），直线AN的方程为y=-12k（x+4），

同理可得，Q（8k2-41+2k2，-8k1+2k2），所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点.

所以△PAQ的面积S=12OA·（yP-yQ）=2×16k1+2k2=322k+1k≤82，

当且仅当2k=1k，即k=22时，取“=”.

所以△PAQ的面积的最大值为82.

点评：圆锥曲线中的范围问题既是高考的热点问题，也是难点问题.解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系，但根据目标函数和不等式求范围正是求解这类问题的难点.建立目标函数的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题.建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特性、判别式法或基本不等式等灵活处理.

2.与圆锥曲线有关的定值（定点）问题

例7 已知圆C方程为x2+y2-8mx-（6m+2）y+6m+1=0（m∈R，m≠0），椭圆中心在原点，焦点在x轴上.

（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标;

（2）判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论;

（3）当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程;在x轴上是否存在两定点A，B，使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标;若不存在，请说明理由.

解析：（1）圆C的方程可化为：

（x2+y2-2y+1）-m（8x+6y-6）=0，

由x2+y2-2y+1=0，8x+6y-6=0，解得x=0，y=1，

所以圓C过定点M（0，1）.

（2）圆C的方程可化为：

（x-4m）2+[y-（3m+1）]2=25m2，

圆心到直线l的距离为