准线之“准”有深意

吴江盛泽中学 孙四周

问：“圆心是圆的一部分吗？”

答：“不，圆心不是圆的一部分．”

问：“准线是抛物线的一部分吗？”

答：“不，准线不是抛物线的一部分．”

虽然圆心是圆所固有的要素，但是它不能算是圆上的点，因为它不符合圆的定义，圆心到它自身的距离不等于半径长（它等于0）．

类似地，抛物线的准线是其固有的一个要素．抛物线是用准线和焦点来定义的，可以说它一刻也离不开准线和焦点，但准线（以及焦点）不算是抛物线的一部分．

那么准线“有实际意义”吗？

一、抛物线与“抛物”的关系

画出一条抛物线比画出一个圆容易得多．捡起一块小石头斜向上抛出，它在空中翩然飞过又在不远处回归地面，这条美丽的弧线就是抛物线．这个做法非常简单，这个说法非常直接，数学上为什么不用它来做抛物线的定义（即“斜抛物体所形成的轨迹叫做抛物线”）呢？因为这里要用到“斜”“抛”“物体”“（运动）轨迹”等字眼，而物体在运动过程中还要考虑地球的引力、空气阻力以及初速度大小等等，初速度过小和过大都不能形成抛物线（过小是椭圆，过大是双曲线）．数学需要抽象化，就像物理上抽象出“理想气体”“理想弹簧”“理想真空”“理想电阻”一样．“理想的斜抛运动”中，地球是无限大的（物体所受引力平行向下）、空气是不存在的（没有阻力），这在自然界中根本不可能存在，而其表述反而不如“平面内到定点F和定直线l（F∉l）距离相等的点的集合”更容易、更明确，所以数学上的定义采用了后者．

斜抛物体的轨迹“真的”是抛物线吗？

设以仰角α，速率v0斜向上抛出一个物体，则该运动可以分解为两个运动，一是竖直方向的匀减速运动，二是水平方向的匀速直线运动（竖直方向受地球引力，水平方向不受力）．建立坐标系如图1，设在t时刻物体的坐标为P（x，y），则

图1

这是一个参数方程，消去参数t即得物体运动的轨迹方程为：

这是一个二次函数，其图象我们称之为抛物线．

这里所说的“抛物线”是实际斜抛物体的轨迹吗？可以说是的．只不过我们忽略了空气阻力，而且认为地球引力始终是向下的（也就是把地球想象成无穷大，地面是无限的水平平面），这就是高中教材的处理方法．

它与解析几何上所说的抛物线是同一个概念吗？是的．只要我们重新建立一个坐标系，把坐标原点选在抛物线的顶点，一条坐标轴是抛物线的对称轴所在的直线，就可以得到解析几何上的“抛物线”标准方程．所有二次函数均可如此处理，因此二次函数的图象与解析几何中的抛物线确实是等价的．

二、抛物线准线的实际意义

注意，这里不含有倾斜角α，只含有初速度v0（g是常数），是不是很神奇？抛物线的准线与斜抛的角度无关，只与初速度有关．也就是说，初速度相同的一系列的抛物线，其最大高度以及水平跨度互不相同，但是它们有共同的准线（图2），这是我们当初所没有想到的．

图2

三、特别的爱给特别的你

①中α≠90°，当α=90°时，正好是竖直上抛运动，此时有：

此式不是关于x的二次函数，此过程中物体一直在y轴上，先上后下，轨迹是折线而不是抛物线．方程②描述的，是该物体的高度随时间而变化的规律，由此很自然地想到计算它的最大高度．根据二次函数最大值公式，

也就是说，如果以初速度v0把物体竖直上抛，它所能达到的最大高度恰好是准线所在的位置．这就揭示了一个永恒的、也是冷酷的自然规律：调整斜抛的方向，固然可以使物体达到不同的高度，然而大自然为你设立了一个天花板，你永远突破不了．但是大自然同时给了我们希望，那就是：要想达到更大的高度，只要增加初速度就行了．有在，没有什么不可以！这就是抛物线准线的实际意义，它在限制我们的同时也给我们无尽的自由！椭圆和双曲线的准线，是否也有其特别的实际意义呢？应该有吧．用《诗经》中的一段结束本文：“蒹葭苍苍，白露为霜．所谓伊人，在水一方．溯洄从之，道阻且长．溯游从之，宛在水中央．”