关于有限群模范畴的商范畴及其等价函子

黄文林

（中国人民大学数学学院，北京100872）

0 引言

表示范畴是有限群表示论的重要研究对象，有限群模表示论中的表示范畴有模范畴、稳定模范畴、相对稳定模范畴、导出范畴等。这些范畴是有限群及其表示上的同调方法的主要对象，也是代数表示论中极为重要的代数表示范畴例子。该研究领域的问题和成果不胜枚举[1-4]。

对于有限群G，可除kG-模是一类较大的模类，它包含所有的投射kG-模和相对投射kG-模，并被用于研究Green环中的幂零元素[5]、张量积的直和分解以及有限群表示中的几乎可裂序列[6]。

文中设定p为素数，G为阶含有素因子p的有限群，k为特征为p的代数封闭域；所有的模都是有限生成的左幺模，所有的映射都是左模上的映射；具体记号和术语可参见文献[7]。

1 有限群 GG的商范畴

定义1设V是kG-模，p是素数；如果V的任意不可分解直因子的维数能被p整除，则称V为可除kG-模[5]。

注1限制到特征为素数p的代数封闭域k，任何不可分解kG-模是绝对不可分解的。由此，本质上，可除kG-模是由p控制的，并且，文献[5]中的绝对可除kG-模即是本文中的可除kG-模。

引理1设U和V都为可除kG-模，X为U的直因子；那么，U*,X,U⊕V都是可除kG-模。

证明引理1易证，此略。

对于任意的kG-模V和W，以及任意的g∈G，v∈V，w∈W，f∈Homk(V，W)；按G-作用 ：g(v⊗kw):=gv⊗kgw，它们的k-张量积V⊗W做成一个kG-模；同时，令g·f:=gfg-1，它们的k-同态Hom(V，W)也做成一个kG-模；不难证明

Hom(V，W)≅V*⊗W。

利用文献[5]性质2.2和引理1可得

引理2设V是可除kG-模，W是kG-模；那么，V⊗W,Hom(V，W),Hom(W，V)都是可除kG-模。

引理3设V是kG-模；那么，V的Heller变换Ω(V)是可除kG-模当且仅当V是可除kG-模。

证明若V是可除kG-模，由引理2得，V⊗Ω(k)也是可除kG-模，而由文献[7]性质11.7.2知，存在某个投射kG-模X，使得

也即Ω(V)│V⊗Ω(k)，再由引理1得，Ω(V)是可除kG-模。充分性得证。

反过来，若Ω(V)是可除kG-模，则在式(1)中，V⊗Ω(k)是可除kG-模，(V⊗Ω(k))⊗ Ω-1(k)也是可除kG-模。与此同时，

(V⊗Ω(k))⊗ Ω-1(k)≅V⊗(Ω(k)⊗Ω-1(k))≅

V⊗(Ω0(k⊗k)⊕Y)≅V⊗(k⊕Y)≅V⊕(V⊗Y)，其中，Y是投射kG-模，由引理1知，V是可除kG-模。必要性得证。

引理4设P是群G的真子群，V是投射kG-模；那么，V是可除kG-模。特别地，任何投射kG-模都是可除kG-模。

证明一方面，V的任意不可分解直因子U仍是投射kG-模；另一方面，由文献[8]中习题23.1知，p││G:P|p|dim(U)，所以，V是可除kG-模；由于任意投射kG-模都是1-投射kG-模(P是平凡群情形)，表明任何投射kG-模也都是可除kG-模。

注2由引理4知，可除kG-模是一个较大的模类，它包含所有的相对投射kG-模（特别地，所有的投射kG-模），然而，平凡kG-模k不是可除kG-模。

定义2设C为一个加法范畴，满足以下3个条件的非空态射类℘称为C的一个理想：

(i)对于C的任何的对象M和N，℘(M，N):=℘∩HomC(M，N)是HomC(M，N)的子群；

(ii)对于C的任意态射g∈ ℘(M,N)和h∈HomC(N，L)，hg∈ ℘(M,L)；

(iii)对于C的任意态射f∈ HomC(K，M)和g∈ ℘(M,N)，gf∈ ℘(K,N)。

引理5设℘是Abel范畴mod(kG)的一个非空态射类，若℘中的每个态射都能被某个可除kG-模分解，则℘是mod(kG)的一个理想。

证明对于任意的kG-模M和N，设t1,t2∈ ℘(M,N)，那么，存在可除kG-模U和V，以及

使得t1=ba，t2=dc。

进一步，由引理1知，U⊕V是可除kG-模，所以，t1-t2∈ ℘(M,N)，表明 ℘(M,N)是HomkG(M，N)的子群。(i)得证。

又设h∈ HomkG(N，L)，显见，ht1=h(ba)=(hb)a，也即，ht1∈ ℘(M,L)。(ii)得证。

类似地，可证明(iii)。

引理5得证。

利用℘，可定义有限生成kG-模的模范畴mod(kG)的商范畴mod(kG)/℘：

(1)它的对象与mod(kG)的对象一致；

(2)对于任意的kG-模M和N，

由文献[4]知，商范畴mod(kG)/℘是一个加法范畴，本文称其为有限群G的(模p)商范畴，简记为也简记为

注3 类似地，可定义Mod(kG)的商范畴

引理6设U和V是kG-模；那么，在商范畴中,U≅V，当且仅当在mod(kG)中存在可除kG-模X和Y使得U⊕X≅V⊕Y。

证明必要性。若在商范畴中，U≅V，则存在使得；那么，存在可除kG-模M和N，以及s∈ HomkG(U，M),t∈ HomkG(M，U)，h∈ HomkG(V，N)，i∈ HomkG(N，V)，使得1U-ba=ts，1V-ab=ih，也 即1U=ba+ts=(b，t)所以，U│V⊕M，V│U⊕N；结合引理1和Krull-Schmidt定理知，存在可除kG-模X和Y使得在mod(kG)中,U⊕X≅V⊕Y。

使得dc=1U⊕X，cd=1V⊕Y；由此，

推论1设是模；那么，在商范畴中，M=0当且仅当M是可除kG-模。

证明由引理6知,推论1成立。

引理7设P是群G的真子群；那么，在商范畴中，所有的投射kG-模和投射kG-模都是零对象。

证明由引理4和推论1知，引理7成立。

注4(1)群G的商范畴不是平凡的，平凡模就不是其零对象；

定义3设V是kG-模，若k-内同态（k-自同态）模End(V)在kG-模同构的意义下可以分解为平凡kG-模和投射kG-模的直和，则称V是内平凡kG-模[9]；更一般地，若End(V)≅k⊕U，U是一个可除kG-模，则称V是内平凡kG-模。

引理8设U、V、M、N是有限生成kG-模，那么，

证明参见文献[6]。

定理1设V是内平凡kG-模，那么V⊗诱导出群G的商范畴上的一个自等价。

证明对于任意的kG-模U、M、N，以及任意的f∈HomkG(M，N)，利用内平凡kG-模V和mod(kG)中的张量积，定义上的自态射如下：

下证其为自等价函子。

因为V是内平凡kG-模，设End(V)≅k⊕X，这里X是一个可除kG-模，那么，对于任意

上述公式说明f↦1V⊗f可以看作从HomkG(U1,U2)到HomkG(V⊗U1，V⊗U2)的嵌入态射。又因为X是可除kG-模，由引理2知，X⊗Homk(X，Homk(U1，U2))也是可除kG-模，意味着对任何α∈ HomkG(X，Homk(U1，U2))，均有以下的kG-模同态分解：

所以，

由此，

综上，V⊗诱导的加法函子是商范畴上的自等价函子。

推论2设V是内平凡kG-模，那么V⊗诱导出群G的商范畴上的一个自等价。

定义4设P为群G的西罗子群，V为一个kG-模；若，S是一个投射kP-模，则称V为平凡西罗限制kG-模。

注6定义4中的平凡西罗限制kG-模的定义不依赖于群G的西罗子群P的选择。

推论3设V为平凡西罗限制kG-模，那么V⊗诱导出群G的商范畴上的一个自等价。

证明由定理1和推论2知，只需证明V是内平凡kG-模。事实上，观察到p∤dim(V)，由文献[6]推论4.7知，k│End(V)；设End(V)=k⊕X，这里，X是kG-模；那么，

性质1设U和V是kG-模，PU和PV分别是U和V的投射覆盖，Ω(U)和Ω(V)分别是U和V的Heller变换，并设下图中的行箭头是模的投射覆盖短正合序列，列箭头是kG-模上的态射；若该图中的每个箭头正方形都是交换的，那么，在商范畴中与相互唯一地决定，并且=0当且仅当=0。

证明由文献[10]知，在题设情形下，f和g可以相互诱导得到对方；以及可以观察得到，在商范畴中，命题=0当且仅当=0，与命题与相互唯一地决定是等价的。

类似于式(2)，可以设定式(3)是3个行短正合列的交换图，即图中的每个箭头正方形都是交换的。那么，结合式(2)可得，

反之，类似地可得，若-g=0，则-f=0。证毕。

注7性质1中的g也记为Ω(f)。

定理2kG-模范畴中的Heller算子Ω诱导出群G的商范畴上的一个自等价。

证明对于任意的U，以及任意的，定义上的自态射：

设V∈若V不含有非零投射直因子，由文献[7]性质11.7.1知，

由性质1知，映射

注8定理2表明，商范畴有与稳定模范畴(和相对稳定范畴的三角范畴加持函子类似的自等价函子[4]。

定义5设G≥H，若P||G|，但对每个g∈GH,都有p∤│H∩Hg│，则称H是G的强嵌入子群。值得注意的是，对于G的西罗子群Q，强嵌入子群H包含NG(Q)；强嵌入子群在单群分类中发挥着重要的作用[11]。

性质2设G≥H，M和N为kG-模；若H为G的强嵌入子群，那么，M与N在商范畴中同构当且仅当限制模ResGH(M)和ResGH(N)在商范畴中同构，特别地，M是中的零对象当且仅当ResGH(M)是modp(kH)中的零对象。

证明若在商范畴中，有M≅N，则由引理6知，存在可除kG-模X和Y以及kG-模同构M⊕X≅N⊕Y，由此

然而，ResGH(X)和ResGH(Y)都是可除kH-模，事实上，若ResGH(X)不是可除kH-模，那么，由文献[6]推 论4.7，有k│End(ResGH(X))，进一步得到，IndGHk│IndGH(End(ResGH(X)))，然而，由Frobenius互反律知[7]，

结合引理2和引理1知，IndGHk是可除kG-模，矛盾，说明ResGH(X)(以及ResGH(Y))的确是可除kH-模；进一步，结合引理6知，在商范畴modp(kH)中，ResGH(M)≅ResGH(N)。必要性得证。

反之，设在商范畴modp(kH)中，ResGH(M)≅ResGH(N)，则存在可除kH-模X和Y以及kH-模同构 ResGH(M)⊕X≅ResGH(N)⊕Y。一方面，若在中，M=0，即M是可除kG-模(推论1)，那么，如同必要性中的证明，ResGH(M)也是可除kH-模。由此，ResGH(N)是可除kH-模，从而，N是可除kG-模。说明在中，N=0；另一方面，一般地，可设M1是的非零对象M的不可分解非可除直因子，M1的顶是G的西罗子群，又因为H是G的强嵌入子群，那么，ResGH(M1)=L1⊕X1。其中，不可分解kH-模L1是M1的格林对应，而X1是投射kH-模，由此，L1是一个非可除kH-模(否则，M1是可除的)，以及L1│ResGH(N)；这意味着L1也恰好是N的某个不可分解非可除直因子N1的格林对应。那么，M1≅N1；因此M与N的所有非可除直因子是一一对应并相互同构的，从而，M与N在中同构。充分性得证。

定理3设G≥H；若H为G的强嵌入子群，那么从G到H的模限制映射诱导出一个从商范畴到商范畴modp(kH)的等价。

证明定义从商范畴到商范畴的限制态射如下：

下证其为等价函子。

首先，ResGH是本质满的。设M是一个kH-模，那么，

由于H是G的强嵌入子群，所以，H∩gH是H的p′-子群，即是投射kH-模；由此得到

其次，ResGH是满忠实的。设M和N是不可分解非可除kH-模，f∈ HomkH(M，N)，那么，

即ResGH)限制在M上恰是；说明在M和N是不可分解非可除kH-模情形下，函子ResGH是满忠实的。

对M和N可分解为不可分解非可除kH-模直和的情形，由于模的诱导、限制均保持直和，上述方法及其结论仍然成立。说明函子ResGH是满忠实的。