量纲分析及其在轴对称结构动力响应中的应用

赵巨岩，王道荣，孟 刚，赵海燕，李宏杰

（1. 清华大学力学与机械工程系，北京，100084； 2. 北京航天长征飞行器研究所，北京，100076；试验物理与计算数学国家级重点实验室，北京，100076）

0 引 言

在工程研究的实践中[1～3]，通常是通过1:1 的试验来对设计结果进行验证，但有的大型试验在工程实现方面不仅消耗大，而且实现真实试验条件比较困难，因此在工程实践过程中通常用部分部段模型和缩比模型进行试验替代，同时辅以数值仿真分析。但如何才能将模拟试验与真实试验的结果进行关联，从而有效实现对真实结果的预测，成为工程实践中亟待解决的问题，此时量纲分析[4,5]就成为解决问题的关键。

在应用中[6～9]量纲分析可以减少所要求解方程中的自变量，简化理论模型。本文针对具有双层结构材料的轴对称柱形壳体，运用量纲分析方法，依据模型和原型基本相似的特点，开展在脉冲载荷作用下的动力学响应分析，在特定条件下建立无量纲因变量与自变量之间的函数关系，通过3 个不同几何尺寸的缩比模型件对相关结论进行验证，为研究大尺寸复杂结构 体脉冲载荷作用下动力学响应提供一种重要的方法。

1 物理模型

研究对象为一个双层圆柱形壳体，两层结构层由材料1 和材料2 组成，两种材料都为各向同性、理想塑性材料，满足Mises 屈服准则。材料1 的密度为1ρ ，杨氏模量为1E ，泊松比为1ν ，屈服应力为1Y ，厚度为H1；材料2 的密度为2ρ ，杨氏模量为2E ，泊松比为2ν ，屈服应力为2Y ，厚度为H2。圆柱形壳体长度为L、外半径为R，如图1 所示。壳体的任何响应都与自身的材料特性、结构特性、载荷的分布特征以及作用时间紧密相连，本模型只以余弦加载为研究对象，余弦加载的特点为壳体在180°范围内其外侧受到沿延径向的压力在轴向是均匀分布的、而沿轴向θ 按半余弦分布，载荷为 ( )cosθp t，如图2 所示。同时假设载荷在各点随时间的变化规律是以如下特征而在各点同步加载的：其在极角 θ =0°处的压力峰值为 p0、作用总时间为τ0、加卸载规律为等腰三角形，如图3 所示，其数学形式如式（1）所示。

图1 圆柱形壳上侧轴向受均布载荷p 示意 Fig.1 Schematic Diagram of Iaxal Uniform Load p on the Upper Side of a Cylindrical Shell

图2 圆柱形壳上侧径向受余弦载荷p 示意 Fig.2 Schematic Diagram of Lateral Side of Cylindrical Shell Subjected to Cosine Load p

图3 三角形压力脉冲载荷 Fig.3 Triangular Pressure Pulse Load

对于此种分布规律和时程特点的脉冲载荷，圆柱形壳上的动力学响应只依赖于2 个参数：0p 和0τ 。这里只以研究壳体受载区域的中心点最大等效应力maxσ和最大等效应变maxε 随外载的变化规律为例。

2 问题求解之量纲分析

针对上述物理模型，可以确定问题的主自变量为：壳体长度 L、外径R、厚度 H1和 H2、材料物性参数ρ1,E1,ν1,Y1和 ρ2, E2,ν2,Y2、脉冲载荷参数 p0和τ0，圆柱形壳体中最大等效应变 εmax、最大等效应力 σmax是这些自变量的函数，即：

式中f(x)，g(x)为函数关系；用L，M，T（长度、质量、时间）单位制进行分析， 应变 εmax为因变量，无量纲； L，R，H1，H2的量纲均为长度L； ρ1， ρ2为质量密度，量纲为ML−3；因变量 σmax和自变量 E1，E2，Y1，Y2和 p0为应力，量纲为ML−1T−2；ν1，ν2为自变量，无量纲； τ0为自变量，量纲为T 。

式（1）和式（2）中有14 个自变量，3 个独立的量纲，取其中任何3 个量纲彼此独立的物理量为基本量。例如，取基本量为：圆柱形壳体半径R、材料1的密度1ρ 和杨氏模量1E 。以上述3 个量为基本量组变换其它自变量和因变量的无量纲表达式，如下所示：

因变量为

自变量为

根据Π 定理，把有量纲量的函数关系式（2）写成无量纲函数，最大等效应变maxε 和无量纲最大等效应力表达式，如下式：

式（5）中，对无量纲因变量起作用的自变量共11 个，可分为4 类：第1 类是几何相似准数，反映的是对结构几何尺度相似要求；第2 类是材料相似准数，反映的是对结构材料相似要求；第3 类是加载的载荷动力学相似准数，反映的是对加载载荷强度的动力相似要求；第4 类是以在材料中纵波波速传过结构特征尺寸所需的时间为基准，度量加载载荷的历时。

3 对问题相似律的进一步分析

为了简单起见，假设圆柱形壳体长度L 为无限大，三维响应问题可视为二维平面问题，壳体长度L 将不影响柱壳体中的等效应变和等效应力，无量纲自变量减少为10 个。

用模型试验来确定无量纲函数f 的具体形式必须保证模型和原型的物理相似，也就是要求模型和原型的归一化最大等效应变maxε 与最大等效应力分别相等。当模型中所有相关参数的无量纲量与原型中对应的无量纲量都相等时，通过模型试验所测得的归一化最大等效应力和最大等效应变值就与原型里的和相等（注：下标m 为模型，p为原型）。

根据实际作用的力学环境，对上述问题进行进一步的简化。

a）模型与原型满足几何相似条件，即：

b）模型和原型选用相同的材料，保证材料相似条件，即：

也就是材料相似准数为常数，然后就只剩下加载载荷的动力相似准数：

式（5）可简化为

如果模型和原型完全物理相似，则：

除式（10）外，还应有表示加载持续时间相似的动力学相似条件：

由相似条件可以得出如下结论：假设原型和模型的几何缩比为

则式（11）可写为

这就是说，在满足模型和原型其它相似准数都相等的条件下，当结构的几何尺度缩小n 倍的同时加载载荷的时间也缩小n 倍时，结构的动力响应的无量纲量是完全相等的，即：

此外，如果不把加载载荷参数0p 和0τ 看做两个独立的量，而只是关心它们的乘积000τ=I p ,考虑式（12），则式（13）将进一步变换成如下冲量载荷形式，即：

由式（15）可知，在模型和原型材料和几何尺寸完全相似的情况下，要使两者动力学响应形同，几何尺寸缩比为n 时，加载的冲量也要缩比为n 倍。

4 相似准则的试验验证

4.1 试验设计

为验证式（15）的科学性，设计了大小成几何缩比的3 个圆柱壳体，缩比模型试验件材料为LY12 铝合金，几何尺寸比为1:1.5:2，3 个圆柱形缩比模型样件几何尺寸（厚度/直径/高）分别为：2.0 mm/170 mm/200 mm/、3.0 mm/255 mm/300 mm、 4.0 mm/340 mm/400 mm，如图4 所示。

图4 3 个圆筒试验件图示意 Fig.4 Diagram of Three Cylindrical Test Pieces

为研究在动态加载下圆柱壳体的动力响应，对3 个圆筒施加如图2 的余弦载荷，本次试验布置1～5的5 个测点，分别对应加载强度峰值0°、45°、-45°、90°和135°的位置，测量应变为环向应变。在加载设计中，比冲量载荷大小按照小圆柱壳体、中圆柱壳体和大圆柱壳体顺序，即：1:1.5:2。如果满足相似律，那么当加载载荷呈几何缩比时3 个圆筒对应测点的应变值大小应该相等。

4.2 试验结果及分析

表1 为3 个不同圆筒壳体5 个测点环向最大拉伸应变情况分析。

表1 不同壳体试验最大拉伸应变数据分析 Tab.1 Analysis of Maximum Tensile Strain Data of Different Shell Tests

对测点1 来说，大圆柱壳体、中圆柱壳体和小圆柱壳体按照比冲量缩比规律加载，拉伸应变分别为2.837 kµε、2.942 kµε和3.074 kµε，平均应变为2.951 kµε，相对于平均应变的相对误差分别为3.8%、0.3%和4.1%，平均相对误差为2.7%。在误差许可范围内认为测点1 在3 次试验中的最大拉应变值相等，验证了量纲分析的相似律结论。同样的结论可以用到对测点2～5 的测量结果分析中。由表1 可知，除测点2在中圆柱壳体试验中平均相对误差达到12.4%，其余各个点在试验中相对误差对小于10%，并且大部分的相对误差在5%附近。由于测点分布区域较广，因此本次试验较好地验证了圆柱壳体在满足几何和材料相似情况下，动态加载下结构响应具有相似性的特点。

5 结 论

从工程实际问题需求出发，以量纲理论为指导，通过建立在特定条件下无量纲因变量与无量纲自变量间的函数关系，经过函数依赖关系的分析研究，结论如下：

a）在模型和原型材料和几何尺寸完全相似的情况下，当壳体结构只含有2 个独立参数时，结构的无量纲因变量只与2个加载载荷参数的无量纲自变量有关。

b）在模型和原型几何相似、所取材料相同的条件下，当原型到模型的几何缩比为n 倍时，在原型材料和模型材料几何尺寸完全相似的情况下，要使原型和模型动力学响应相同，当几何尺寸缩比为n 倍时，外载荷加载的冲量也要缩比n 倍。

c）开展3 个不同几何尺寸缩比试件动态余弦加载试验，通过5 个测量点应变测量数据的分析，结果证明理论推导是正确的。