备受青睐的概率结果——P（B）=[49]

眭亚燕

“等可能条件下的概率”是初中數学概率部分的重点，用画树状图法或列表法列举所有等可能事件的结果来计算概率是学好本章的关键，也是中考重点考查的内容。本文以苏科版《数学》九年级上册“等可能条件下的概率（一）”中的例4“摸球试验”为基本模型，以所求结果“P（B）=[49]”为主线，让同学们体会不同背景下蕴含的相同数学本质。

【基本模型】苏科版《数学》九年级上册“等可能条件下的概率（一）”中的例4（P136）：

图1

如图1，一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率。

【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率。列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件。

解法一：把2个红球编号为红1、红2，用表格列出所有可能出现的结果：

[ 白 红1 红2 白 （白，白） （白，红1） （白，红2） 红1 （红1，白） （红1，红1） （红1，红2） 红2 （红2，白） （红2，红1） （红2，红2） ][第二次][第一次][结果]

由表格可知，共有9种可能出现的结果，并且它们都是等可能的。“两次都摸到红球”记为事件B，它的发生有4种可能，所以事件B发生的概率P（B）=[49]，即两次都摸到红球的概率是[49]。

解法二：用树状图列出所有可能出现的结果，如图2所示：

图2

由树状图可知，共有9种可能出现的结果，并且它们都是等可能的。“两次都摸到红球”记为事件B，它的发生有4种可能，所以事件B发生的概率P（B）=[49]，即两次都摸到红球的概率是[49]。

【点评】当一次试验涉及两个步骤（例如摸两个球）并且可能出现的结果数目不多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法或画树状图法。解题时要注意此题属于放回试验。

一、用基本模型解决抛掷骰子问题

例1 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，求点数之积小于9的概率。

图3

【解析】考虑到该试验涉及两个步骤并且可能出现的结果数目较多，故选择用列表法解决本题。

解：用表格列出所有可能出现的结果：

[ 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 ][第二次][第一次][结果]

由表格可知，共有36种可能出现的结果，并且它们都是等可能的。“点数之积小于9”记为事件B，它的发生有16种可能，所以事件B发生的概率P（B）=[1636]=[49]，即点数之积小于9的概率是[49]。

【点评】本题的试验背景虽然是“抛掷骰子”，解题方法也只是优选了表格法，但依然可以得到结果——P（B）=[49]。

二、用基本模型解决转盘游戏问题

例2 小刚与小亮一起玩一种转盘游戏。如图4是两个完全相同的转盘，每个转盘分成面积相等的三个区域，分别标有数字1，2，3。同时转动两个转盘，任其自由停止。若两指针所指的数字和为奇数，则小刚获胜;否则，小亮获胜。若指针恰好停在分界线上，则重新转动转盘，直到指针指向某一个数为止。问在该游戏中小刚获胜的概率是多少？

图4

【解析】考虑到该试验涉及两个步骤并且可能出现的结果数目不多，故选择用画树状图法解决本题。

解：用树状图列出所有可能出现的结果，如图5所示：

图5

由树状图可知，共有9种可能出现的结果，并且它们都是等可能的。“两指针所指的数字和为奇数”记为事件B，它的发生有4种可能，所以事件B发生的概率P（B）=[49]，即在该游戏中小刚获胜的概率是[49]。

【点评】本题的试验背景虽然是“转盘游戏”，解题方法也只选用了画树状图法，但仍然可以得到结果——P（B）=[49]。

三、用基本模型解决乘坐公交问题

例3 小明周末要乘坐公交车到植物园游玩，从地图上查找路线时发现，几条线路都需要换乘一次。在出发站点可选择空调车X、空调车Y、普通车a，换乘站点可选择空调车M、空调车N、普通车b，且均在同一站点换乘。空调车投币2元，普通车投币1元。求小明到达植物园恰好花费4元公交费的概率。（用画树状图法）

【解析】该试验涉及两个步骤并且可能出现的结果数目不多，按照常规解法既可以选择列表法，也可以用画树状图法解决本题。但是本题末尾括号内规定“画树状图法”，所以只能选择画树状图法。

解：用树状图列出所有可能出现的结果，如图6所示：

图6

由树状图可知，共有9种可能出现的结果，并且它们都是等可能的。“小明到达植物园恰好花费4元公交费”记为事件B，它的发生有4种可能，所以事件B发生的概率P（B）=[49]，即小明到达植物园恰好花费4元公交费的概率是[49]。

【点评】本题的试验背景虽然是“乘坐公交”，解题方法也规定了只能用画树状图法，但依然可以得到结果——P（B）=[49]。

四、用基本模型自编一组概率问题

聪明的你能否也来编一组概率问题，使得最终结果也为P（B）=[49]。

（作者单位：江苏省常州市新北区浦河实验学校）