正确理解概率公式

王玉珍

我们在解决概率问题时，常常会因为对一些概念把握不到位，而与正确答案失之交臂。

一、使用概率公式的前提

一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一种结果出现。如果每种结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性。

这个概念比较抽象。细读之后我们能发现，等可能性需要同时具备三个条件：（1）n表示试验的结果是有限个;（2）都是随机事件;（3）每次试验有且只有其中的一种结果出现，并且每种结果出现的机会均等。这三个条件缺一不可。下面，我们一起来看看苏科版数学教材九年级上册第128页的例题：

一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球。摸到白球与摸到红球的可能性相同吗？

小明同学说：摸到的球不是白球就是红球，所以摸到白球和摸到红球这两个事件是等可能的。

小丽同学说：摸到每一个球的可能性相同，而红球有2个，白球只有1个，摸到红球的可能性大。

小明、小丽的说法哪一个正确？

【分析】我们从题目中的关键词“不透明”“这些球除颜色外都相同”“搅匀”等不难发现，摸到白球和摸到红球都是随机事件;3个球中任意摸出1个球说明试验的结果是有限种。根据试验的结果具有等可能性的定义，本试验已经具备两个条件，还缺一个条件，即每种结果出现的机会均等。因此，我们只要把2个红球编号：红球1和红球2，这样从中摸到每一个球的机会就均等了。搅匀后从中任意摸出一个球会出现3种等可能的结果：白球、红球1、红球2，所以摸到红球的可能性大。综上可见，小丽对概念的理解是到位的。

细心的同学还会发现，摸球这个典型的试验贯穿了概率的整个章节。

二、等可能条件下的概率公式

一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，当其中的m种结果之一出现时，事件A发生。那么事件A发生的概率是P（A）=[mn]（其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示所有等可能出现的结果数）。

细读之后，我们能发现使用概率公式的前提条件是：一个试验有n种等可能的结果，也就是试验的结果必须具有等可能性。

【拓展1】上面的例题，继续问你：摸到红球的概率是多少？

【分析】这属于一步摸球试验。我们可以先做出判断：这个试验的结果具有等可能性，然后列出所有等可能的结果，直接代入公式求解。

解：把2个红球编号为红球1和红球2。搅匀后从中任意摸出一个球会出现3种等可能的结果：白球、红球1、红球2。摸到红球1、摸到红球2这两种结果之一出现时，“摸到红球”这一事件发生，所以P（摸到红球）=[23]。

【拓展2】我们将上面的例题改编如下：

一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同。搅匀后从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回。搅匀后再从中任意摸出1个球。求两次都摸到红球的概率。

【分析】这属于两步摸球试验。我们要先做出判断：这个试验的结果具有等可能性，然后列出所有等可能的结果，再直接代入公式求解即可。这个试验的所有等可能结果不能一眼看出，需要借助列表或画树状图进行分析。当然要想做对，还需仔细读题，“放回”是这个问题的关键词。

解：把2个红球编号为红球1、红球2，用表格列出所有可能的结果：

由表格可知，共有9种等可能出现的结果，“两次都摸到红球”的结果有4种，所以P（两次都摸到红球）=[49]。

【拓展3】将【拓展2】的“放回”前加一个字“不”，你还能正确求出结果吗？

【分析】解答過程与【拓展2】类似，唯一不同的是第一次摸出白球，不放回，第二次摸时袋子里只有红球1和红球2，不可能摸出白球了，所以列表如下：

【拓展4】又按照之前【拓展3】的方法再摸一次，求前两次都摸到红球，最后一次摸到白球的概率。又应该怎么做呢？

【分析】这属于三步摸球试验。我们还是要先做出判断：这个试验的结果具有等可能性，然后列出所有等可能的结果代入公式求解。我们尝试列表发现，第三步不便于书写，所以本题应借助树状图来完成。

解：把2个红球编号为红球1、红球2，用树状图列出所有可能的结果。

由上图可知，共有6种等可能的结果，其中“前两次都摸到红球，最后一次摸到白球”的结果有2种，所以P（前两次都摸到红球，最后一次摸到白球）=[26]=[13]。

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）