善于辨析归类 问题迎刃而解

同学们通过本章内容的学习，知道等可能条件下概率的两个基本特征是试验结果的等可能性和有限性。解决等可能条件下的概率问题是中考的高频考点。这类问题类型繁多，解决问题的方法多种多样。大部分同学对于如何快速确定解题策略感到非常困难。其实，只要对这些问题的类型和方法进行归类，再对症下药，相信问题一定能迎刃而解。下面就以具体的例题对这类问题的解题策略进行归类分析，希望对同学们有所帮助。

一、求只有一步试验结果的随机事件的概率

当试验的结果只有一步，出现的结果是等可能的，而且是有限个时，可以用枚举法或直接利用公式求概率。

1.用枚举法求随机事件的概率。

例1 某中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为1号选手和2号选手代表学校参加全市汉字听写大赛，求男生甲被选为1号选手的概率。

解：因为选1号选手的结果有4种，男生甲，男生乙，女生丙，女生丁，它们都是等可能的，其中选到男生甲有1种。

所以P（男生甲被选为1号选手）=[14]。

2.直接利用公式求随机事件的概率。

例2 一只不透明的袋子中装有3个白球和4个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球。

（1）求摸到红球的概率;

（2）若往口袋中再放入x个红球，且从口袋中随机取出一个白球的概率是[14]，求x的值。

解：（1）从中随机取出一个红球的概率是[44+3]=[47]。

（2）由题意得：[37+x]=[14]，解得x=5。

经检验x=5为原方程的解，

所以x的值为5。

【评析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=[mn]，m表示事件A可能出现的结果数，n表示所有可能出现的结果数。解决第（2）问的关键是运用方程思想根据概率公式列出方程并求出方程的解。

二、求两步试验结果的随机事件的概率

当试验结果分为两步时，根据具体情况，同学们可以适当选择列表法或画树状图法，计算一些等可能条件下随机事件的概率。我们需注意取出放回和取出不放回这个条件对事件的概率是有影响的。

1.取出放回的情况下用列表法或画树状图法求随机事件的概率。

例3 一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、摇匀，再从中任意摸出1个球。求两次都摸到红球的概率。

解：把2个红球编号为红1、红2，用树状图列出所有可能出现的结果：

或列表如下：

[ 白 红1 红2 白 （白，白） （白，红1） （白，红2） 红1 （红1，白） （红1，红1） （红1，红2） 红2 （红2，白） （红2，红1） （红2，红2） ][第一次][结果][第二次]

因为共有9种可能的结果，它们都是等可能的，“两次都摸到红球”记为事件A，它的发生只有4种可能，所以事件A发生的概率P（A）=[49]，即两次摸到红球的概率是[49]。

【评析】在用“树状图”或“表格”列出所有等可能出现结果的过程中，当试验结果分为两步，并且所有等可能出现的结果数较少时，运用这两种方法求解都比较有效。

例4 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和为8的概率是多少？

解：用表格列出所有可能出现的结果：

[ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ][第二次][结果][第一次]

因为共有36种可能的结果，它们都是等可能的，“朝上一面的点数和为8”记为事件A，它的发生只有5种可能，所以事件A发生的概率P（A）=[536]，即朝上一面点数和为8的概率是[536]。

【评析】如果遇到所有等可能出现的结果数较大时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，运用“表格”会显得较为清晰、便捷。

2.取出不放回的情况下用列表法或画树状图法求随机事件的概率。

例5 一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球和1个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从中任意摸出1个球。求两次都摸到白球的概率。

解：记两个白球分别为白1，白2。

画树状图如下：

或列表格如下：

[ 白1 白2 红 黑 白1 （白1，白2） （白1，红） （白1，黑） 白2 （白2，白1） （白2，紅） （白2，黑） 红 （红，白1） （红，白2） （红，黑） 黑 （黑，白1） （黑，白2） （黑，红） ]

由图或表可得，两次摸球共有12种等可能结果，其中两次摸到的球都是白球的情况有2种，

∴P（两次摸到的球都是白球）=[212]=[16]。

【评析】取出放回和取出不放回这个条件对事件的概率是有影响的，直观上我们可以通过表格中的对角线体现这一变化。不放回的情况在第二次是不存在的，所以在表格中要有对角线。

三、求三步试验结果的随机事件的概率

例6 一只不透明的袋子中装有1个白球和1个红球，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、摇匀，连续摸3次，求至少有一次摸到红球的概率。

解：用树状图列出所有可能出现的结果：

因为共有8种可能的结果，它们都是等可能的，“至少有一次摸到红球”记为事件A，它的发生有7种可能，所以事件A发生的概率P（A）=[78]，即连续摸3次，至少有一次摸到红球的概率是[78]。

【评析】当试验结果涉及三步或更多步时，若用“表格”求解，就会得到一个三维或多维的立体表格，而这在平面上表示出来是比较困难的。为了不重不漏地列出所有可能的结果，则一般运用“树状图”列出所有等可能的结果。

四、求与几何图形相关的等可能条件下的概率

如果区域P上有一个区域A，假设每次试验能够落在区域P上的任意一點处，并且落在任一点的可能性总是相同的，记区域P的面积为S总，区域A的面积为SA，那么一次试验落在区域A上的概率P（A）=[SAS总]。特别地，如果区域A被划分成m等份，用其中的一等份作为基本面积单位来划分，区域P被分成n等份（n>m），那么一次试验落在区域A上的概率P（A）=[mn]。

例7 如图是一块飞镖游戏板，板中每一块小正方形除颜色外全部相同。小明向飞镖板中投掷飞镖一次，假设飞镖都落在游戏板上，求飞镖落在阴影部分的概率。

解：∵总面积为4×4=16，其中阴影部分面积为4×[12]×2×2=8，

∴P（飞镖落在阴影部分的概率）=[816]=[12]。

【评析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将面积用代数关系表示出来，阴影区域面积表示所求事件A;然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件A发生的概率。

例8 如图，A转盘的4个扇形面积相等，B转盘的3个扇形的面积相等。任意转动转盘A、B各1次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相乘，求所得的积是奇数的概率。（若指针恰好停在分界线上，则重新转动转盘，直到指针指向某一个数为止。）

解：用表格或树状图列出所有等可能的结果：

[ 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 3 3 6 9 4 4 8 12 ][结果][B][A]

因为共有12种等可能的结果，其中乘积为奇数的有4种，所以P（乘积为奇数）=[412]=[13]。

【评析】解决这类问题不能用几何概型的公式计算。转盘上每个数字所占的扇形面积相等，所以指针指向每个扇形都是等可能的。这类问题可以转化为等可能条件下的概率类问题，用列表法或画树状图法求解。

（作者单位：江苏省前黄高级中学附属人民路初级中学）