单元设计：把数学思想方法呈现给学生

吴永华

爱因斯坦说过：在一定思维模式引领下所产生的理论弊端，用同一种思维模式是无法得到解决的。他使人类突破了牛顿机械论局限，跨入相对论、量子力学时代。中国的数学教学道路，从“双基”到“四基”是一种突破，但是仍然用数学工具论的思维方式，用题海战的应试思维方式去对待“四基”，数学的文化功能是无法充分呈现的。单元设计是一种充分呈现数学文化的工具，属于设计教学范畴，跟传统教学、活动体验数学、技艺训练数学、合作教学等等并列。

工具是有使用目的的匹配性、操作程序规范性等特点的。例如吃牛排要用刀叉，吃面要用筷子。但是在教学上我们常犯工具倒置的错误，就像小孩吃面用刀叉一样，误以为一件工具能解决所有的现实问题，把教学失败的后果归罪于学生的愚笨，这是不明智的。目前，一线数学教师对“四基”并不缺乏认识，缺少的是工具和方法。本文以数位制为例，介绍一种加强“四基”的教学方法，把数学思想和方法呈现给学生。

单元设计教学的意义和分类

单元设计教学主要承担“设计”特定的学习方式和在境脉中系统地展开这些学习方式，从而在实际境脉中加以修正，进行迭代。基于设计的数学通过理论发展和新实践的有机结合，寻求学习者认知边界的拓展，深度理解所学的知识和概念。

单元设计教学有的书上也称单元设计学习。“教”和“学”是一个共同体。中国古代的《学记》就阐明了“学学半”的道理。第一个“学”是“教”的意思，第二个“学”是现在的“学”的意思，“半”字告诉人们“教”和“学”原本存在于同一事物——教学过程之中，揭示了“教”和“学”在教学过程中有同样重要的地位，不可轻此重彼。

以数位制为例的大综合单元设计教学范式

大综合单元设计是一种以某种思想方法、文化理念为核心的跨学科跨时空的单元设计。就数学来说，就是置数学在人类文明历史的长河中，用文化的视角，重走前人科学探究之路，把数学思想和方法在文化层面呈现给学生，这就是平时我们所说的数学文化教育研究。

小学生的数位制概念经历了四个经验积累阶段：一是幼儿学前阶段，通过拨珠、数数，形成进位意识;二是一年级 20以内加减法，不同位置不同价值，形成对应概念;三是三年级的多位数数位表;四是小数数位表和自然数数位表的组合。我们只知道，学生是依靠背位值表来认识数位制的，产生了两种错觉：一是位值制只是一种信仰，是上帝制订的法则，并不是人类智慧的文化层面表达;二是十进制是唯一的数位制，因为全世界的数学基础教学都用十进制。其实学生直至毕业，对数位制概念的理解，大都是零散的，不完整的，有的甚至于是错误的，数学失去了其文化性，失去了思想方法性，便成学生害怕学习的操练工具。

基于数学文化的数位制大综合单元设计分四大部分：单元教学目标或称学习目标;教学活动的设计;教学活动的组织开展和展评;学习过程和结果的评价。单元设计是一种“教——学——评”一体化的教学范式，不是以教材为中心的课时设计，而是以学习为中心，以素养为核心的跨时空设计。

数位制单元设计，一般置于数位表教学时段进行，用四至五课时，配合社团活动和网络学习完成。学习目标（教学目标）用动词加名词的语言精确表述：1.查阅数学符号发展史，了解阿拉伯计数法由古印度发明，由波斯商人传播的历史事实;不同民族有不同的计数方法;2.理解数位制的多元性。数位制是用有限符号表示无限事物的智慧结晶;3.学会多位数的字母展开，掌握不同数位制的换算; 4.接触二进位制和自设进位制的表示形式（限于 5进位制8进位制两种）。

教学活动（学习活动）Ⅰ ：网上查找，课外阅读，收集资料相互交流，小组书面呈现（数学手抄报），主题是“人类记数的历史——自然数的记数多样性和位值制。教师补充、引导、归纳和点评。

教学活动（学习活动）Ⅱ：理解数位制的本质是用有限符号记载无限世界的客观事实的文化工具。如果没有数位制，人们将怎样计数？为什么罗马计数法、汉语计数法、筹码计数法……不会推广流传？除了十进位制，你还知道有几进位制的位值制？用短文形式以学习小组为单位发表属于他们自己的理论争鸣空间。

教学活动（学习活动）Ⅲ：把自然数的多位数展开式跟书上位值表统一起来：abc……xyz=a×10m-1+bm-2+cm-3+……+xm-m+2+ym-m+1+zm-m。教师讲述，学生操作，从三位数、四位数、五位数……到 m位数推进。

结合数轴，多位数让学生理解数位制是有限符号，记载无穷大事物工具，书上小数的数位制值是记载无穷小事物的工具，渗透极限的数学思想。

教学活动（学习活动）Ⅳ：认识二进位制计数法，会自设位值制，并掌握不同位值制和十进位制的互换。书面练习二进制、五进制、八进制的计数法跟十进位制的换算。

综合单元设计的组织和展开，一般都采用小组团队合作学习的形式，公共学习产生是数学手抄报、论文和问题的提出和解答。教师既是学生的学习组织者，又是学生学习的参与者，要知道他们探究的方向，提供必要的学习工具和方法，但是绝不能替代学生去学习，在活动展开时边指导，边评价，边提问，注意培养学生的批判性思维，掌握数学概念的深层次理解。

关于单元设计实践过程中一些理性思考

一位文史家说过：在现代所有课程中，教育的一个主要“罪行”是不要求学生付出艰辛的努力去学习。日本学者佐藤学把学习定义为三种实践：认知世界的实践、承接和创造文化的实践、自我意义构建的实践。这三种实践光靠记忆是不行的，一定要付出艰辛努力，主动开展心智活動。数学是一种文化，数学又是一种语言。小学数学的基础性不仅是掌握几种法则，记住几条定理，背诵几个概念，而是要求进行一次艰辛的文化之旅，用数学思想和方法认识世界、创造文明，不断创新属于自己的思维模式。

单元教学（学习）设计只是建立在建构主义教育理念之下的一种教学工具，使用它有三个条件：一是教师对单元主题的文化理解有比较深层次的把握。二是学生对单元主题有一定的知识积累。三是教师和学生都能平等对话，相互交流形成一个文化实践的学习共同体。例如，以数位制单元教学为例，教师是否知道和理解数位制创立的文化意义是人类可以用有限的符号记载无限事实的智慧结晶。理解数位制是人类文化的实践创造，而不是上帝制定的法则，要让学生走一走人类智慧的文化之旅，体验数学思想和方法对我们认识世界的重要性。同时学生要有知识积累，是否能区别序数和基数，并在数数时除了“一一对应”，还要体会序数比较前后，基数比较大小，能够在数轴上表示出来。同样的操作活动，一种是知识指导下的实践，另一种是盲目的刺激反应，学习意义是完全不同的。我们平时主张“做中学”或者“先练后讲”都要注意感性和理性的结合，也就是要求学生付出辛勤的心智成本，并不是低层次的行为重复，不要滑入行为主义的刺激与反应的误区。单元教学（学习）设计的评价并不是以考试为唯一手段，要求学生把学习成果用自己满意的方式呈现给大家。当然考试也是可以的，但是考试关注的自我建构意义，自我超越，而不是基于某一标准的竞争性选拔。小学生办手抄报，写小论文，记读书笔记，制造学习工具，写数学日记都是评价的好形式，我们要把所有的学生学习成果充分展示出来，未来的数学家就在他们中间。

掌握单元设计教学工具要能真正帮助学生开展深层次的有效性学习，教师必须具备二种意识、三项本领：一种意识是课程文化意识，教师是设计、开发和组织课程的主体，传统的教学三中心思维模式，教师是教材的忠实传播者，讲深讲透是教师任务，学生怎么学，并不是教师所关注的。课程文化指课程的价值取向，不同的课程有不同的学习目标和方法。其实教材只是一种课程文化工具，并不是一种教学法典。教师要有综合课程、开发课程的本领。另一种意识是学生学习有效性意识，所谓有效性是指学习目标、学习过程、学习结果的统一性。传统的教学是不关注学习过程和学习方法的，学习目标也是不合理的，用记忆替代理解，用技能损伤情感，强调学习检测的标准统一性。有效性学习必须建立在学习者自觉积极参与学习过程，并能付出艰辛心智劳动的基础上的，教师不能替代学生学习。全面关注学生的学习情感、学习态度、学习过程、学习方法，才是教师的职责。

三项本领指整体把握所任学科核心素养要求的本领;通过观察找准学生最近发展区的本领;有效开发和利用课堂学习文化工具的本领。工具和方法本身无优劣，不同境脉使用不同的工具和方法，工具和方法的匹配性策略选择是有好坏之分的。教师的观摩课、示范课、比赛课千万不要境脉剥离，走形式主义道路，一定要注意培养教师自己的批判性思维和反思教学的能力。

单元教学（学习）设计是一种教师教学智慧的呈现。例如“字母表示数”。江苏版教材从“字母代替数”改成“字母表示数”已经察觉仅仅把字母的引进为学习方程作铺垫是不合理的，其实字母表示数是小学生抽象思维完成第三层级的学习过程。第一抽象层级是学前教育和一年级，把世界上的实物计量用符号来表示;第二抽象层级舍去实物的本质，用符号进行计量运算，这在二至四年级完成。2+2=4，我们不关注这里的“2”是 2支笔还是 2头牛，只关注计量“2”与计量“2”合并起来一定是 4，隐含着并集数学思想。字母表示数是第三次抽象，a+b=c已经剥离了事物的大小、多少，只关注事物的关系。a是多少，b是多少，a和 b谁大谁小，我们已经都不关注了，只定义集合a、集合 b和集合 c的关系，a和 b合并成集合c，确立了并集概念。数学的核心素养之一是学会抽象，學会推理，学会建模，这在新课程标准解读中讲的很清楚，数学思想和方法的呈现单靠教材和课时教学的模式是不可能实现的，教师一定要把学生积累的知识和零散的方法串联起来，用单元设计工具让学生进行一次文化之旅，真正体验数学的真谛。

数学思想和方法作为一项数学的学习任务要落到实处，数学基础教学要从“双基”转向“四基”还有漫长的路要走。“数学的文化之旅”并不是一句口号，而是加强数学“四基”教学的有效途径。单元设计只是工具，并不是唯一的范式。把数学思想和方法呈现给学生是提升学生数学核心素养的时代召唤。

（苏州市敬文实验小学）