“研题”是提升教学效益的重要途径*

(黄浦区教育学院,上海 200023)

研题作为教师教研活动与学生学习活动的重要内容与形式，在各级各类学校中日益受到重视并得到广泛开展.下面笔者就教师研题谈一谈个人的一些认识与思考．

1 研题的含义与价值

1.1 研题的含义

教师研题是指教师对问题的背景和构成、求解的思路和方法、教学方案的规划与实施(价值、功能、方法与策略)等进行科学、系统地剖析与探究、梳理与整合、拓展与创新的过程．简单地说，教师研题是教师以问题为对象所做的研究活动．它是教师教学研究的常见形式与主要内容之一．这里的研题与解题研究含义有所不同，后者主要是针对问题“怎样解”进行研究，它是前者的一个组成部分．

1.2 研题的价值

美国数学家哈尔莫斯指出：问题是数学的心脏，数学真正的组成部分是问题和解．这句名言也代表了众多数学家的共同看法．因此，问题对于数学教学与数学学习来说特别重要.研题对于数学教师来说尤为重要．

对于教师来说，研题的目的首先是弄清楚问题的本质、解法与相关要点以及问题的变式与拓展，这样可以充分发挥问题的教学功能，促进学生对数学本质的理解．若教师对问题缺乏深入的研究，则往往不能很好地把握问题的精髓与关键，这样在教学中就不能切中要害，导致教学的低层次或不到位(教不研则浅)．这就好比导航灯没有一定的高度，是没法为船舶导航的．

其次是围绕问题研究适合学情的教学设计与教学方法．通过研究更好地把握学生解题过程中可能出现的思维障碍，并寻求突破这些障碍的方法；通过研究进一步优化提出、分析与解决问题过程的教学活动设计与学习方法指导，从而提升解题的教学效益.

再次是提升自己的研题能力，进而提升数学素养．教师们以某一类、一组或一道题为中心开展研究活动，非常有意义并且容易实施．教师们既可进行个体研究，也可进行集体研究，方式灵活多样，因此研题应该成为教研活动的基本内容与重要方式．对于中学数学教师，由于教学工作任务繁重，通常缺乏充裕的时间与精力从事系统研究．但研题活动可以随时随地进行，比较容易操作，也适合教师的工作实际．因此，研题虽然是微型或小型研究，但它像一日三餐为人类生命活动提供基本的营养一样，为提升数学素养提供能量，它是“教师作为研究者”的重要体现．

2 怎样研题

研题的内涵非常丰富，它通常包括研究怎样解题、怎样变式、怎样讲评(问题)、怎样说题等方面，这几个方面在基于学生、促进学生发展的指导思想下形成一个有机的整体．

2.1 怎样解题

解题教学是数学教学的重要内容与主要形式，因此解题研究(主要研究怎样解题)是做好数学教学的前提．解题研究可以提升研究者对问题的理解与认识，寻求与优化解题方法，提升解题能力．对于教师来说，解题研究还可以预设、估计学生可能采用的各种解题方法，为讲题以及科学指导学生做好必要的准备．因此，解题研究是优化解题教学、摒弃题海战术、提升教学效益的有效途径．解题研究的水平是数学教师专业素质的重要体现．

研究怎样解题是研题的核心内容，包括研究解题策略、解题方法等．美籍匈牙利数学家波利亚的《怎样解题》《数学的发现》《数学与猜想》等著作就是解题研究方面的著名研究成果．波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书．这本书的核心是他剖析解题思维过程所得到的一张“怎样解题表”．表中他提出一些建议和启发性问题，其中蕴含着发明和发现的方法与规则，可以为人们寻找与发现解题方法指明方向．因此，教师在进行解题研究时，可以借鉴波利亚的“怎样解题表”向自己或同伴提出启发性问题，以此来激发与激活积极的思维活动，从而诱发好的念头．

开展怎样解题这一方面的研究可以借鉴的已有研究成果比较多，这里不再赘述．需要特别指出的是：解题不是最终目的，我们的最终目的是通过解题来学会解题．而要实现这一目的的最好方式就是解题研究．

2.2 怎样变式

变式教学是最常用、最有效的教学途径之一，对于解题教学也是如此．在解题教学过程中，我们经常需要将试题进行一些变化、引申、推广或拓展，从而形成一些题组来进行教学．这样，可以更好地发挥题组的整体效益，可以帮助学生形成更好的认知结构，促进学生对数学本质的理解与领悟，也可以提升学生的分析与解决问题的能力．顾泠沅教授指出，通过对问题的多层次的变式构造，不仅可以使学生对问题解决过程及问题本身的结构有清晰的认识，而且也可以帮助学生积累活动经验、提高问题解决能力[1]．

波利亚说过：“好的问题像蘑菇一样，总是成堆生长，你找到一个的时候，在它周围找一找还会找到很多．”[2]对教师来说，通过寻求变式这一方式往往可以找到一些好的、有价值的问题，这样可以将我们的研题活动引向深入．教师对变式的研究，既可以提升自己的专业素养，也可以有效地提升变式教学的质量与效益．

在习题教学中，我们经常采用一题多变、多题一解的教学策略．变式可以沿着由浅入深的线索，体现学生学习过程的循序性与层次性；也可以沿着“形似但质异的”思路，通过变式来体现数学本质并训练学生思维的灵活性；也可以沿着“异题同解”的思路，举一反三，强化通性通法与解题规律．常用的变式途径包括特殊化、一般化、变换背景、改变设问方式等，可改造问题的条件或结论，也可同时改变问题的条件与结论．

例1可以进行如下变式：

变式2设x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值．

变式3设x>0，y>0，且2x+8y-xy=-9，求x+y的最小值．

的最小值，并指出取最小值时x的值．

其中变式1、变式2都可以化归为原问题；变式3尽管与变式2相似，但处理方法还是有所不同；变式4与变式5形式上与原题有所不同，但处理方法却基本相同．以上不同的变式有不同的教学功能，但都可以促进学生对“用基本不等式求最值”这一内容的理解与掌握．

除了研究怎样变式之外，还要研究怎样编题与命题．在解题教学和编拟试卷的过程中，我们经常要根据某些意图来命制试题，而要命制出高质量的试题，既需要较高的学科素养，也需要一定的命题技术与命题经验．除了研究怎样命题之外，也要研究高考试题的特点，把握高考命题的规律与趋向，这样不仅可以明晰教学方向，促进教学效益的提高，也可以学习优秀的高考试题的命题方法，从而提升自己的命题能力．

2.3 怎样讲评

研究怎样讲评，就是研究围绕问题采用什么方式、方法与过程来进行教学．按照“以学定教”的原则，首先应该研究讲题时学生已有的认知基础和思维状态，然后因势利导地进行教学．著名心理学家奥苏伯尔说：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么我将一言以蔽之；影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么．要探明这一点，并应据此进行教学．”调查学生的典型解法和错误，分析这些解法的来源以及错误的根源，是开展讲题活动的主要依据．这样的讲评才会有较强的针对性、目的性，从而取得较好的教学效果[3]．

例2已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2(bn+1-bn)，其中n∈N*.设{an}的第n0项是最大项，即an0≥an(其中n∈N*)，求证：数列{bn}的第n0项是最大项．

许多学生在解题时出现的错误让许多教师感到意外与惊讶．本题明确指出了数列最大项的含义，但许多学生却视而不见，而是通过证明“第n0项大于其前一项与后一项”来证明“数列第n0项是数列的最大项”．前者实际上是后者的必要条件，但不是充分条件，两者并不等价．出现这种错误的原因在于学生在平时的复习中进行了大量“求等差数列前n项和最值”的重复训练，形成了固化的解题套路与解题模式，没有通过变式教学让学生认识到这种解题模式的适用条件(Sn是关于n的单峰函数)，学生在解题时不加思索地套用不适当的解题模式而出现错误．教师只有了解了学生所犯的错误及其原因，讲题才能做到有的放矢、切中要害．

许多学生在解题时直接套用零点分布问题的图像求解，先求出系数a,b所满足的不等关系，然后再求f(1)的取值范围．由于a,b所满足的不等关系中有二次不等式，这就涉及非线性规划，从而出现解题障碍．学生选择这一思路的原因是在高三复习中对零点分布问题及图像解法进行了过度强化．而此题已知函数零点的取值范围，比较自然的思路是用两个零点来表示f(1)，这样很容易得出所求的取值范围．

有学者认为，问题讲评可分为如下4种境界：1)讲清(就题讲题)；2)讲透(多种解法与拓展思路)；3)讲活(理清诸多变化与多种联系，以求探源奠基)；4)启智(启发学生领悟思想与精髓，点燃智慧火花，提升数学素养)[4]．作为教师，应努力提高问题讲评的境界，这是提升教学效益的有效途径．

2.4 怎样说题

说题就是把自己对问题的理解与研究(如怎样解题、怎样变式、怎样讲评)按一定顺序说出来．这里主要探讨教师之间的说题，即教师向同行展示自己对问题的相关研究过程、成果与体会，便于同行之间互相启发、切磋、交流、学习与借鉴，从而实现共同提高．

教师说题是学科组、教研组、备课组或个别教师之间开展教学研究的一种方式.该教研活动旨在通过说题，促进参与者深入研究问题的特点、功能及其教学策略，从而提升问题讲评教学的质量与效果．说题和说课相似，只不过两者在说的对象上有所差异．

通过关于试题的说题活动，可以促进教师深化试题研究，从而把握试题的命题趋势与方向、掌握试题命制技能技巧等具有很好的指导作用.同时，关注学生应答思维并对错误思维进行深入剖析，并以此为出发点研究、规划讲评教学策略与方案，对提高试题讲评教学的针对性和有效性发挥了很好的作用.开展说题活动，能有效地提升教师的试题研究与编制能力、习题教学的规划与执行能力以及教研能力，还能充分发挥集体智慧并提升研题效益．

说题的内容包括：题目的相关分析与研究、题目的教学设计与方案等．

在题目的相关分析与研究这一方面，主要说问题的背景、来源与特点，说问题功效(把问题看成载体，说出问题涉及的知识点与能力要求；说出问题渗透哪些数学思想方法，让学生的知识水平、能力结构和个性品质在解题过程中能得到怎样的生长、发展和延伸),说解题策略、解题思路,说解题步骤，说解题陷阱、解后反思,说问题变式与拓展.

分析1已知等式中既有通项an，又有Sn，消去Sn或an．本题选择消去Sn，得到an的一个递推关系．由

得

(n-1)an+1-nan+a1=0，

从而

nan+2-(n+1)an+1+a1=0，

以上两式相减可得

2nan+1=nan+nan+2，

即

2an+1=an+an+2，

故an,an+1,an+2成等差数列，由n的任意性可知{an}为等差数列．

分析2由分析1可得

(n-1)an+1-nan+a1=0，

当n≥2时，两边同除以n(n-1)，可得

即

an=a1+(n-1)(a2-a1).

又当n=1时，上式也成立，故对一切n∈N*，都有

an=a1+(n-1)(a2-a1)，

从而

an+1-an=a2-a1，

故{an}为等差数列．

分析3用数学归纳法.对哪个正整数采用数学归纳法呢？要证明数列{an}是等差数列，可证明通项公式an=a1+(n-1)(a2-a1)，对这里的正整数n使用数学归纳法．证明的关键步骤是根据ak的表达式求出ak+1，由分析2可得

(k-1)ak+1-kak+a1=0，

将ak的表达式代入，即可得出ak+1的表达式．

分析4仍然采用数学归纳法．可证明对正整数n(其中n≥2)，a1,a2,…,an成等差数列．对这里的正整数n使用数学归纳法即可．证明的关键步骤也是由a1,a2,…,ak成等差数列(设其公差为d)，证明a1,a2,…,ak+1也成等差数列，即只要证明ak+1-ak=d即可．由分析2可得

(k-1)ak+1-kak+a1=0，

将ak=a1+(k-1)d代入，即可得出

ak+1=a1+kd，

故

ak+1-ak=d．

笔者进行了反思：

1)比较这4种方法，容易发现第一种最为简单．而使用数学归纳法证明的难点在于将要证明的结论“{an}是等差数列”转化为“关于正整数n”的相应结论．

2)在数列问题中，若已知Sn与an之间的关系，则可采用消元的思想，消去Sn得出an的递推关系，或消去an得出Sn的递推关系．另外，在解决数列问题时，常常可以采用二次构造的方法来建立递推关系．

3)证明一个数列是等差数列，通常有两种方法：一种是用等差数列的定义，另一种是证明任意连续3项都成等差数列．

4)数学归纳法通常用来证明关于正整数n的命题，因此首先要找出这里的正整数．有时需要将结论进行适当转化，才可使用数学归纳法来进行证明．

在题目的教学设计与方案这一方面，首先要说学情分析(包括学生已有的知识状况、能力状况以及学习态度等非智力因素，还有解题时可能遇到什么困难、会出现哪些常见错误、出现困难与错误的原因是什么、学生可能会选择哪些解题方法等)；其次说教学设计(主要说如何根据学生的具体情况来确定教学的重点、教学策略与教学举措的选择及其依据，学生应主要采用什么样的学习方式，教学流程应如何设计，学生活动应如何安排，如何引导学生观察、分析问题，找到切入点，配套练习应如何安排等)．

当然，说题活动不必面面俱到，要根据活动的目标、重点来选择要展示与交流的内容，这样才能提高说题活动的针对性与有效性．

综上所述，教师研题是教师教研活动的重要形式，也是提升教学效益的重要手段．但目前教学中存在的普遍问题是：教师要么对所涉及的问题缺乏深入研究的意识与习惯，停留在以往经验上，局限于参考资料中；要么是缺乏深入研究的能力，自己根本不能灵活地、变通地、开放地、批判式地思考问题．

当然，除了这些内在因素之外，也有一些外在因素，如研题的指导与实践机会、社会与学校的评价机制、所在的教研组与备课组的教研氛围与教研文化等．这些因素不仅制约着研题活动的开展，也严重阻碍了数学教学效益的提升，必须引起教师们足够的重视并切实加以改变．