浅谈复合函数中定义域的求法问题

赵青波

摘要：复合函数的定义域是高等数学中的基础知识之一，同样对学生也有着挑战性，由于该部分理论知识的应用性强、复杂性较高，对部分学生来说有着较高的挑战性。但是，有关复合函数定义域出题，虽然具有灵活性，但是本质上仍旧是万变不离其宗，笔者结合日常教学中经常遇到的几种类型，对其进行分析，并在此基础上对复合函数定义域解题的关键进行阐述与分析，从而对学生掌握该类题型提供帮助。

关键词：复合函数;定义域;求法;解题关键

复合函数是指由两个及两个以上函数组成的函数，从其定义来看就能发现其中的复杂性，但是复合函数定义域的求解不仅在单一类型题目上有着重要性，也往往作为一个基础条件应用到其他类型题目上，因此学生掌握复合函数定义域的相关知识有着极重要性和必要性。与此同时，学生对于复合函数的学习与掌握，能够充分调动与培养其数学思维和逻辑思维，从而对学生的学习起到有效的帮助。从当前学生复合函数掌握的具体情况来看，多数学生对该类知识点的认识度和掌握度仍有不足，甚至不能充分掌握该类题型的做题规律，影响到自身整体的数学成绩。笔者围绕日常教学经验，对复合函数定义域的求法进行归纳与总结，并结合相关例题进行分析，为学生对该方面知识的掌握提供参考。

一、学生对复合函数学习的现状

复合函数这一知识点在大一高数的课本上，该知识点有着抽象性强、逻辑强等特点，对于部分学生的学习来说有着极端的挑战性。由于学生刚刚接触到抽象函数本身就存在着不适应性，再加上复合函数本身的晦涩难懂，导致一部分学生在学不会的情况下自行放弃这一章节的学习内容。但是，复合函数及其有关的知识点，在整个数学中有着极端的重要性，他不仅作为一个单独的知识点存在，同时还会充当其他函数题的条件，成为解题的基础与关键。

也由于复合函数本身的晦涩性，也导致部分学生对其产生了恐惧心理，笔者调查中发现，有80%以上的学生能够掌握住简单的复合函数定义域计算，40%左右的学生能够掌握住中等程度的复合函数定义域计算，仅有15%左右的学生能够掌握住非常复杂的复合函数定义域计算。但是，就整个学习数学历程来看，这种情况也会在反复的模拟考试中得到改善，在数学复习结束以后，对于复合函数定义域的题型多数学生已经能够充分的掌握和应用，并且会随着后续复习的强化，对该知识点不断巩固。

二、复合函数中定义域的几种求法

（一）已知f（x）定义域求f[g（x）]定义域

对于这一类型的复合函数定义域题相对属于基础与简单的题，只需要进行值域之间的转化，便可以推导出复合函数的定义域。在这类题的解题思路上，要明确一个观念，即g（x）的定义域与f（x）中x的定义域一样，再次基础上进行推算即可。出题类型上一般是：已知f（x）定义域为[n，m]或（n，m）、[n，m）、（n，m]，这几种类型，让求f[g（x）]定义域，我们只需将g（x）=t，则t与x的定义域一样，如此便可以推出f[g（x）]的定义域。如，例题1和例题2。

例题1：已知函数f（x）定义域为[2，5），求函数f（x+1）的定义域。

解：由题意可知，2≤x<5，则2≤x+1<5，1≤x<4，由此推出f（x+1）定义域为[2，4）。

例题2：已知函数f（x）定义域为（2，6]，求函数f（x2+1）的定义域。

解：由题意可知，2

（二）已知f[g（x））]定義域求f（x）定义域

该类型的复合函数定义域计算题，也是属于相对较为简单的题型，在该类题中关键也在于定义域值域之间的转换。一般来说，该类题的出题思路为，已知f[g（x）]定义域为[n，m]或（n，m）、[n，m）、（n，m]，求f（x）定义域。在解题的思路上，我们要先把g（x）=t，得出的定义域就是f（x）定义域。如例题3。

例题3：已知函数f（4x-6）的定义域为[5，8]，求函数f（x）定义域。

解：由题意可知，5≤4x-6≤8，则11≤4x≤14，则11/4≤x≤7/2，则f（x）定义域为[11/4，7/2]。

（三）已知f[g（x）]定义域求f[h（x）]定义域

这类型的复合函数定义域题相对来说比较复杂，可以明显看出该类型题综合了上述一二两种类型，因此在计算上我们可以先由f[g（x）]求出f（x）定义域，然后在去计算f[h（x）]的定义域，即以f（x）为桥梁，进行转化与计算。在出题上，一般会是按照如下的思路：

已知函数f[g（x）]的定义域为[n，m]或（n，m）、[n，m）、（n，m]，求f[h（x）]的定义域。如例题4。

例题4：已知函数f（2x+2）定义域为（4，8），求f（2x-2）的定义域。

解：由题意知，4<2x+2<8，则1

（四）已知f（x）定义域求四则运算型函数定义域

该类型的题是复合函数定义域中最复杂的题，也是最令学生与教师头疼的题，需求求出各个函数的定义域，然后再求交集，一般来说，多数学生能够求出各个函数的定义域，但是在交并集的计算上，往往容易出问题，而且，该类型的题往往不是真实数字，而是一些字母，这样无疑增加了题目本身的抽象性。如例题5。

例题5：已知函数f（x）定义域为（n，m），且n+m>0，求g（x）=f（x+a）+f（x-a） （a>0）的定义域。

解：由题意可知，n

另由题意知，a>0，∴n-a

若使g（x）定义域为非空集合，则必须使n+a

三、复合函数定义域解题的关键

（一）把握出题的类型

对于复合函数定义域的题在解答的时候，学生一定要充分把握住出题的类型，能够根据题干明白在考察什么，在此基础上思考解题的方法，并加以计算。如在考察四则运算型函数定义域的时候，不能按照其他的解题思路进行，这样才能够保证最终的定义域。同时，在算题的过程中，一定要充分考虑到各个方面的条件，一定要把非空集合考虑到位，这也是数学解题思路的一个关键。

（二）分清内函数值域与外函数定义域

在复合函数定义域计算的过程中，也要充分把握住内函数值域与外函数定义域，要谨记两句话，即内函数值域一定要包含于外函数定义域中，以及外函数定义域是内函数的值域。同时，学生也一定要能够辨别出什么是内函数，什么是外函数，如函数f（2x-3）中，令函数y=f（t），则，外函数为y=f（t），內函数为2x-3。充分辨别和把握住内外函数，才能够保证做题过程中的正确率。

（三）掌握做题技巧

对于复合函数定义域计算类型的题，也有着自身的规律和答题技巧，掌握住技巧与规律学生不仅能够在做题的效率上得到提高，也能够在做题的正确率上得到提高。对于复合函数定义域计算的规律与类型，可以参考本论文中第二部分，根据各种题型进行归纳总结，并且将每个题型的解题思路进行充分的掌握。

四、结束语

复合函数定义域的计算，对于学生来说既具有掌握的必要性，也具有掌握的重要性，这是高等数学中的做题基础。函数类型的题一般都具有晦涩难懂和抽象的特点，学生只有在充分把握住这些做题规律的基础上，将总体的类型进行细分，在细分的基础上按照难易程度有顺序的进行理解，并在日常的训练中加以训练和注意，便能够有效的掌握住总体的类型。

参考文献：

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