基于多部件串联系统的屏蔽数据在恒定应力下的最优设计

王 秀

(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

近年来，为了满足市场与消费者的要求，产品的结构变得越来越复杂，在不同的数据类型下如何更好地评估产品的可靠性变得极其重要.跟最初研究可靠性的产品相比，现在的大部分产品系统失效的失效机理不再单一化，而呈现多种失效机理共存的特征，对此类数据进行统计分析会更加接近现实产品的真实数据分析.由于一些原因，如缺乏检测失效机能设备、成本和时间的限定、检测对产品造成的破坏等，寿命试验中往往观测不到精确的失效机理，但可以观测到产品可能失效机理的最大集合，称这种失效机理未知的观测数据为屏蔽数据.

屏蔽数据的广泛存在吸引了大量学者用多种统计方法去探索.屏蔽数据问题最早由Friedman等[1]提出，主要讨论了完全屏蔽数据在两部件寿命试验中的运用.Usher等[2]最早给出了屏蔽数据的定义，并推出了三部件寿命试验服从指数分布时模型参数极大似然估计.Mukhopadhyay等[3]将寿命试验推广到多个部件的情况.Xu等[4-7]深入研究了不同场景下屏蔽数据的贝叶斯分析.文献[8]讨论了两部件串联系统寿命试验变点模型的贝叶斯参数估计问题.对于寿命试验的最优设计通常有两种，一种是用Fisher信息阵来设计，另一种是由渐进方差来设计，分别对应D-最优设计准则和V-最优最优设计准则.Bai等[9-10]分别研究了竞争失效产品寿命数据服从指数分布时的简单步加试验和服从威布尔分布的简单梯度试验最优设计问题.文献[11-12]研究了指数分布场合下多个竞争机理多应力下恒定加速试验的优化设计问题.文献[13]研究了Marshall-Olkin多元指数分布有关的加速试验的最优设计问题.文献[14]给出了两种最优设计准则的关系，并加以应用.文献[15-17]研究了Gumbel指数分布的竞争失效数据在加速寿命试验下的最优设计问题.文献[18]研究了费用控制下的最优设计问题.在寿命试验中[19-21]，虽然屏蔽数据和最优设计问题的研究均已成熟，但至今仍未有人研究寿命试验的失效数据为屏蔽数据时有关的最优设计问题.

本文对恒定应力下多部件串联系统的屏蔽数据最优设计问题进行了研究，首次给出了恒定应力下多部件串联系统屏蔽数据的最优设计问题的解决方案.根据D-最优和V-最优准则，分别给出成本控制下寿命数据为屏蔽数据时多部件串联系统的D-最优模型和V-最优模型.基于D-最优模型和V-最优模型，给出了两部件串联系统和三部件串联系统的最优配置方案.

1 基本假设

为了方便建立模型，给出了几个基本假设：

假设1：产品所使用的系统为多部件串联系统，每个产品的系统均由J(≥2)个部件独立串联而成.

假设2：所使用的屏蔽数据是由n个相同系统的产品失效后的检测数据组成，即本文的数据是全部失效后的检测数据.

假设3：本文的数据是在某一个部件失效而产生产品的失效，所以屏蔽数据中未检测出失效机理的数据的失效部件均为MJ+1={1,2,…,J}.

假设4：每个产品的第j个部件的寿命均服从参数为λj的指数分布，即为其中表示产品是因为第j个部件失效而失效的产品系统的平均寿命，分布函数密度函数为可靠度函数为失效函数为

假设6：屏蔽概率为p，若则

2 极大似然估计与Fisher信息阵

2.1 极大似然估计

根据以上描述，可得似然函数：

设n个产品的寿命总时间为：带入似然函数（1）并对其求对数，得：

2.2 Fisher信息阵

对数似然函数（2）求二阶偏导，并求此负二阶偏导的期望，可得如下的Fisher信息阵：

其中：

3 D-最优模型和V-最优模型

3.1 D-最优模型

D-最优是以参数估计的Fisher信息阵的行列式最大为准则，也即是找到最优的参数点λ1,λ2,…,λJ以及p的值，使得值达到最大.

常应力下对n个产品进行失效检测，每个产品检测的失效成本为C1，每个产品的成本为C2，n个产品消耗的其他总成本为C0，对于此次试验的总预算为C，则可得约束条件：其中C1、C2、C0、C、n均已知.因此可得D-最优的最优化模型：

3.2 V-最优模型

V-最优是以常应力下平均寿命估计的渐近方差最小为准则，也即是找到最优参数点λ1,λ2,…,λJ以及p的值，使得达到最小.

因此，可得V-最优的最优化模型：

其中，此处的约束条件与D-最优模型的约束条件一样.

4 数值模拟

4.1 D-最优模型的数值模拟

1）当J=2时，假定n=50，C=1000，C0=200，C1=10，C2=12，则可得最优解为：(n1,n2)=(1,9)或(n1,n2)=(9,1)，此时模型（5）的目标函数的最大值为173.6111.

2）当J=3时，假定n=50，C=1000，C0=200，C1=10，C2=12，则可得目标函数的参数最优解为：(n1,n2,n3)=(8,1,1)或(1,8,1)或(1,1,8)，此时模型（5）的目标函数的最大值为195.3125.

根据定理1，可得参数值和参数比为：p=0.8，λ1:λ2:λ3=8:1:1或1:8:1或1:1:8，若可得Fisher信息阵行列式的最大值为0.2679184.

4.2 V-最优模型的数值模拟

1）当J=2时，假定n=50，C=1000，C0=200，C1=10，C2=12，则可得最优解为：n1+n2=10，n1=1,2,…,9，此时模型（6）的目标函数的最小值为2.169235.

2）当J=3时，假定n=50，C=1000，C0=200，C1=10，C2=12，可得目标函数的参数最优解为：(n1,n2,n3)=(8,1,1),(7,1,2),…,(1,8,1)，此时模型（6）的目标函数最小值为2.169235.

根据定理1，则其参数值比分别为：p=0.8，(λ1:λ2:λ3)=(8:1:1),(7:1:2),…,(1:1:8)，若可得近似方差的最小值为19.52312.

5 结 论

综合上述给出的模拟结果，可以看出屏蔽概率p是与约束条件的成本控制范围有关，参数λj取任意值，屏蔽概率p均取约束范围内的最大值.每个部件参数λj取值则与检测该部件失效的产品数nj成正比，各个部件参数的实际大小是无法被估计，只能计算出其最优比值.通过模拟可知，每个参数λj的取值也是相对对称的.

在D-最优模拟结果中可以发现，最优解个数为部件数J的倍数；在V-最优模拟结果中可以发现，最优解是一个范围，该范围满足此时K为一个固定的值，D-最优和V-最优的最终结果一致.

基于本文的研究方法和成果，将来可以从以下方面开展进一步研究：研究多部件串联系统的屏蔽数据在多个恒定应力下加速寿命试验的最优设计问题；对于多部件并联系统，在成本控制下，研究寿命数据为屏蔽数据的产品在步加或步进应力下的最优设计方案；当寿命分布为非指数分布或混合分布时，对前两个最优设计问题进行研究.