基模高斯激光与高能电子相互作用引起的波包形状变化

许晓腾

(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

超强超短脉冲激光是研究强场和物质相互作用的极其重要的工具，其产生的基本原理是：将低能的脉冲激光通过展宽器将其展宽，经过放大后再通过压缩器将其压缩回原来的宽度.超短脉冲激光在数学描述上可由相应的激光光束叠加而成，因此，理论上研究超强超短脉冲和物质的作用可归结为相应的激光光束和物质的相互作用。

已有的实验和理论[1]研究表明，激光一次加速电子并不能使电子获得很高能量，激光本身在一次加速电子中损失的能量和激光本身的能量相比极少。如果同一束激光对电子能够实现多次加速，将具有非常重要的应用价值。在多次加速过程中，激光加速电子后引起波包的改变是一个重要问题。本文给出的波包改变的计算方法不仅可以计算激光一次加速电子后的波形变化，还可以计算和波包相互作用后电子的能量，可为高能激光连续多次加速电子这一重大的理论和实验问题提供计算依据。

本文将计算高斯型激光与电子作用引起的波包改变.第一部分计算高斯型激光的傅里叶变换，第二部分用量子电动力学方法计算电子与光子的相互作用，第三部分计算电子静止坐标系中出射光子的几率和平均值，最后利用最速下降法得到基模高斯光束形状的变化.

1 基模高斯激光

描述基模高斯激光[2-5]时采用高斯单位制.定义变量κ表示波数，r0为束腰半径，为瑞利长度.因为κr0＞＞1，因此s为无量纲小量.基模高斯激光可以表达为s的级数形式.取至四级近似，高斯基模激光的表达式为[6]：

定义傅里叶变换为：

2 高能电子与光子相互作用

基模高斯激光经过傅里叶变换为平面波光子的叠加，每个平面波光子与自由电子的相互作用，可以使用量子电动力学的方法来研究.电子与光子相互作用的两个最低阶Feynman图见图1.

图1 二阶Feynman图Fig 1 Second-order Feynman Graphs

在树图近似下，由费曼规则可得相应的S矩阵元为[7]（使用自然单位，光速c=1，普朗克常数ħ=1）：

上式中V为单位体积，m为电子质量，e为电荷，pi,pf分别为入射电子四矢量和出射电子四矢量，Ei,Ef分别为电子入射能量和出射能量，为电子传播子，u(pi,si)为电子旋量波函数，si为电子自旋，ω和ω'分别为光子入射能量和出射能量，εν(k,λ)为光子极化矢量，γν为狄拉克矩阵，k0和k'分别为入射光子四矢量和出射光子四矢量，δ4(pf+k'-pi-k0)表示四动量守恒.

上述笔者分析了现阶段我国企业财务内控精细化管理当中存在的一系列的问题，为了提高企业财务管理和企业整体的经营管理水平，有必要对财务内控精细化管理工作进行强化和改善，如此才能有效促进企业在行业发展当中获得更多、更好的发展，促进企业经济效益提高。下面将对强化企业财务内控精细化管理的要点进行分析。

3 电子静止坐标系中散射波矢的几率和平均值

3.1 几 率

表示对电子的初态自旋平均和末态自旋求和，以及对λ和λ'求和，极化依赖项求平均所得的散射截面，对（5）式积分可得：

分别表示电子静止坐标系中散射波矢量的分量.由对称性可求得散射部分平均值同样可求得散射部分的平均值为：

4 基模高斯波包的形状改变

4.1 变换回实验室参考系后平均值k1的k1x分量

图2显示了实验室坐标系与电子静止坐标系中入射电子方向与入射光子夹角的关系.

设k0z沿实验室参考系入射光子k洛伦兹变换到电子静止坐标系k0（电子静止坐标系未散射部分仍沿该方向）方向，可知亦沿该方向，又电子静止坐标系因此散射波矢平均值刚好等于洛伦兹变换为线性变换，逆变换回实验室坐标系的k1，仍沿入射光子方向，并且由于沿垂直实验室坐标系p方向洛伦兹变换保持不变，因此可得k1=其中k1为实验室坐标系中散射光子平均值大小，表示平均值，α为实验室坐标系入射光子方向与电子入射方向夹角，α'为电子静止坐标系中入射光子与电子速度方向夹角.为计算sinα'，可设其中k⊥为实验室坐标系中散射光子平均值k1沿垂直于电子初速方向的分量，k1//为实验室坐标系中散射光子平均值k1沿平行于电子初速方向的分量，为电子静止系中沿垂直于电子初速方向的分量，为电子静止系中沿平行于电子初速方向的分量.

实验室坐标系中k1x平均值为：

其中θ1为实验室坐标系中光子入射方向与x轴夹角，ω1为实验室坐标系中入射光子能量.

将（6）式代入（7）式可得：

在电子静止坐标系中取各级平均值的近似值：

4.2 形状改变

通过下式将a中电子静止坐标系各量代换回实验室坐标系相应量：

高斯型激光最后表达式为：

（11）式第一项为原波包C(ρ,z)，第二项为波包改变，设为B.由最速下降法可得：

由于kρ＞0，分析可知，下降最快角度即为其中

表1显示电子能量为10Mev，tgθ=0.1[8]，波包s=0.02时的数值积分，最速下降法结果，θ为实验室坐标系中p与z轴夹角.

表1 两种计算方法数据表（ζ=3）Table 1 Data Tables for Two Computational Methods (ζ=3)

5 总 结

本文对基模高斯激光进行傅里叶变换，利用量子电动力学方法计算了平面波光子与电子的相互作用，最后计算出射光子平均值，代入激光表达式中，并利用最速下降法，得到波包改变.本文算得的波包改变对研究激光加速电子问题有重要意义，不仅可以利用它计算一次加速电子获得的能量，还可以利用它计算下一次激光与电子的相互作用.