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用放缩法证明数列中的不等式

2019-12-06罗红雨

读写算 2019年26期
关键词:不等式

罗红雨

摘 要 在数列中,放缩法证明数列不等式是难点内容,并且在高考之中也有较多的考察,因此需要对放缩法证明数列不等式进行有效掌握。在文中主要就对用放缩法证明数列中的不等式进行探讨。

关键词 放缩法;数列中;不等式

中图分类号:O122.3

文献标识码:A

文章编号:1002-7661(2019)26-0174-01

放缩法证明数列不等式是数列的难点内容。如何把握放缩的“度”,使放缩“恰到好处”,正是放缩法的精髓和关键所在。本文将研究数列中一些常见的放缩类型及方法,破解其思维过程,领略和感受放缩法的无限魅力。

常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关,其基本结构形式有如下2种:

一、放缩目标模型——可求和

(一)形如

例1求证:

分析:不等式左边可用等比數列前n项和公式求和,左边

变式1求证:

分析:不等式左边可用“错位相减法”求和,由错位相减法得

变式2求证

分析:左边不能直接求和,须先将其通项放缩后求和,如何放缩?

注意到,将通项放缩为等比数列

左边

变式3求证:

分析:左边不能直接求和,须先将其通项放缩后求和,如何放缩?

注意到,将通项放缩为错位相减模型

左边

方法总结

放缩法证明与数列求和有关不等式,若可直接求和,就先求和再放缩;若不能直接求和,一般先将通项放缩后再求和。问题是将通项放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的才行呢?其实,能求和的常见数列模型并不多,主要有等差、等比、错位相减、裂项相消模型等。实际问题中,大多是等比模型或裂项相消模型。

(二)形如

例2求证:

分析:不等式形如,左右两边的式子都是某等差数列的和,因此考虑将通项放缩成等差模型后求和。

显然不等式的中间是数列的前n项和,设为

本文探讨了一些利用放缩法证明数列不等式的方法,在平时的学习中,我们要有意识地积累一些常用的放缩模型和方法,厚积薄发,“量变引起质变”。

参考文献:

[1]张建虎.用放缩法证明数列不等式中不可忽视的一个问题[J].数学教学,2016(08):31、36.

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