一类直线过定点问题的探究与发现

1 问题的提出

在历年高考中经常出现直线过定点问题，见文＼[1＼]2019年高考（北京卷）文科第19题仍是一道关于直线过定点问题，该试题如下：

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的左焦点为（1，0），且经过点A（0，1）.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若OM·ON=2，求证：直线l经过定点.

在这道高考试题中，点A为椭圆x22+y2=1的上顶点，如果给出的椭圆是任意的椭圆，点A是椭圆的任意顶点，或者OM·ON的值是任意实数值λ，直线l是否仍能过定点呢？

问题 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，点A为椭圆C的上顶点（或下顶点），O为原点，不经过点A的动直线l：y=kx+t与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若xM·xN=λ，试问：直线l是否经过定点？

2 问题的探究

我们先研究点A为椭圆C的上顶点情况，即点A坐标为A（0，b）.

联立x2a2+y2b2=1，

y=kx+t， 消去y并整理，得（b2+a2k2）x2+2kta2x+a2（t2-b2）=0.

设P（x1，y1）、Q（x2，y2），

则x1+x2=-2kta2b2+a2k2，x1x2=a2（t2-b2）b2+a2k2.

（*）

因为直线AP的方程为y=y1-bx1x+b，令y=0，得xM=bx1b-y1，同理得xN=bx2b-y2.

所以xM·xN=bx1b-y1·bx2b-y2=λ，将y1=kx1+t，y2=kx2+t代入，化简得（λk2-b2）x1x2+λk（t-b）（x1+x2）+λ（t-b）2=0，将（*）式代入上式，化简得（t-b）[（λ-a2）t-b（λ+a2）]=0.

因为直线l不经过点A，所以t≠b，则（λ-a2）t=b（λ+a2）.

当λ=a2时，上式不成立;

当λ≠a2时，t=b（λ+a2）λ-a2，直线l方程为y=kx+b（λ+a2）λ-a2，直线l经过定点（0，b（λ+a2）λ-a2）.

同理，当点A为椭圆C的下顶点且λ≠a2时，直线l经过定点（0，b（λ+a2）a2-λ）.

因此，我们得到结论：

结论1 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，点A为椭圆C在y轴上的顶点，O为原点，不经过点A的动直线l：y=kx+t与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且xM·xN=λ（λ≠a2）.若点A为椭圆C的上顶点，则直线l经过定点（0，b（λ+a2）λ-a2）;若点A为椭圆C的下顶点，则直线l经过定点（0，b（λ+a2）a2-λ）.

当点A为椭圆C在x轴上的顶点，也有类似的结论：

结论2 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，点A为椭圆C在x轴上的顶点，O为原点，不经过点A的动直线l：y=kx+t与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与y轴交于点M，直线AQ与y轴交于点N，且yM·yN=λ（λ≠b2）.若点A为椭圆C的左顶点，则直线l经过定点（a（λ+b2）b2-λ，0）;若点A为椭圆C的右顶点，则直线l经过定点（a（λ+b2）λ-b2，0）.

3 问题的推广

如果曲线C为双曲线，也有类似的结论：

结论3 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1，点A为双曲线C的顶点，O为原点，不经过点A的动直线l：y=kx+t与双曲线C交于两个不同点P，Q，直线AP与y轴交于点M，直线AQ与y轴交于点N，且yM·yN=λ（λ≠-b2）.若点A为双曲线C的左顶点，则直线l经过定点（a（b2-λ）λ+b2，0）;若点A为双曲线C的右顶点，则直线l经过定点（a（λ-b2）λ+b2，0）.

证明 当点A为双曲线C的左顶点时，点A坐标为A（-a，0）.

联立x2a2-y2b2=1，

y=kx+t， 消去y并整理，

得（b2-a2k2）x2-2kta2x-a2（t2+b2）=0，

设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则x1+x2=2kta2b2-a2k2，x1x2=a2（t2+b2）a2k2-b2.

①

因为直线AP的方程为y=y1x1+a（x+a），令x=0，得yM=ay1x1+a，同理得yN=ay2x2+a.

所以yM·yN=ay1x1+a·ay2x2+a=λ，将y1=kx1+t，y2=kx2+t代入，化简得（a2k2-λ）x1x2+（tka2-λa）（x1+x2）+a2（t2-λ）=0.

将①式代入上式，化简得λ（ak-t）2=b2（a2k2-t2），因为直线l不经过点A，所以ak-t≠0，则λ（ak-t）=b2（ak+t），解得t=a（λ-b2）kλ+b2，所以直线l方程为y=k[x+a（λ-b2）λ+b2]，直线l经过定点（a（b2-λ）λ+b2，0）.

同理，当点A为双曲线C的右顶点时，直线l经过定点（a（λ-b2）λ+b2，0）.

4 问题的进一步推广

在前面的研究中，我们给定的點A是椭圆（或双曲线）的顶点，如果点A在坐标轴上，但点A不是圆锥曲线的顶点，直线l是否经过定点？

对于抛物线，有下面结论：

结论4 已知抛物线C：y2=2px（p>0），点A（m，0）（m>0），O为原点，动直线l：y=kx+t与抛物线C交于两个不同点P，Q，直线AP与y轴交于点M，直线AQ与y轴交于点N，且yM·yN=λ（λ≠0）.当且仅当λ=pm2时，直线l经过定点（-m，2pm）或定点（-m，-2pm）.

证明 联立y2=2px，

y=kx+t， 消去y并整理，得k2x2+（2kt-2p）x+t2=0，设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则

x1+x2=2p-2ktk2，x1x2=t2k2.

②

因为直线AP的方程为y=y1x1-m（x-m），令x=0，得yM=-my1x1-m，同理得yN=-my2x2-m.

所以yM·yN=-my1x1-m·-my2x2-m=λ，将y1=kx1+t，y2=kx2+t代入，化简得（m2k2-λ）x1x2+（tkm2+λm）（x1+x2）+m2（t2-λ）=0.

将②式代入上式，化简得

λm2k2+2（λm-pm2）kt+λt2=2pλm，

③

要使直线l经过定点，k、t之间必须是一次函数关系，即③式左边必须是一个完全平方式，则有Δ=4（λm-pm2）2-4λm2·λ=0，解得λ=pm2.

事实上，当λ=pm2时，③式整理，得（t-mk）2=2pm，即t=mk±2pm.

当t=mk+2pm时，直线l方程为y=k（x+m）+2pm，直线l经过定点（-m，2pm）;

当t=mk-2pm时，直线l方程为y=k（x+m）-2pm，直线l经过定点（-m，-2pm）.

类似地，对于曲线C为椭圆、双曲线时，同理可以得出下列结论（证明过程略）.

结论5 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，点A（0，m）（m≠±b），O为原点，动直线l：y=kx+t与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，xM·xN=λ（λ≠0）.当且仅当m     结论6 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，点A（m，0）（m≠±a），O为原点，动直线l：y=kx+t与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与y轴交于点M，直线AQ与y轴交于点N，yM·yN=λ（λ≠0）.当且仅当m     结论7 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1，点A（m，0）（m≠±a），O为原点，动直線l：y=kx+t与双曲线C交于两个不同点P，Q，直线AP与y轴交于点M，直线AQ与y轴交于点N，yM·yN=λ（λ≠0）.当且仅当m>a且λ=m2b2m2-a2时，直线l经过定点（a2m，bm2-a2m）或定点（a2m，-bm2-a2m）.

参考文献

[1] 喻秋生.一类圆锥曲线中直线过定点问题的探究与发现＼[J＼].数理化解题研究，2018（31）.

作者简介 喻秋生（1963—），男，江西高安人，中学数学高级教师，广东省特级教师，中国数学奥林匹克高级教练员，从事教育教学工作37年，主要研究方向有高中数学课堂教学、高中数学竞赛培训、高考数学试题研究.