2019年高考全国Ⅱ卷数学试题评析和2020年备考建议

罗文军 刘娟娟

【摘 要】 2019年高考全国Ⅱ卷数学试题，以《课程标准》、《考试说明》为依据，体现了“立足基础，稳中有变，注重能力”的设计理念，在坚持对空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力和应用意识与创新意识考查的同时，注重对数学思想与方法的考查，旨在考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的数学学科核心素养，凸显综合性和应用性，以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系实际，在数学教育评价中落实了“立德树人”的根本任务.

【关键词】 评析;备考;建议;趋势

2019年高考全国Ⅱ卷数学试题，以《课程标准》、《考试说明》为依据，体现了“立足基础，稳中有变，注重能力”的设计理念，在坚持对空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力和应用意识与创新意识考查的同时，注重对数学思想与方法的考查，旨在考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的数学学科核心素养，凸显综合性和应用性，以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系实际，在数学教育评价中落实了“立德树人”的根本任务.

1 试题评析

1.1 大稳定

无论文科还是理科，试卷在整体结构上，设置有12道选择题、4道填空题、7道解答题，与前两年保持一致.延续了全国Ⅱ卷数学高考近几年必考关于集合、复数、平面向量、数学文化、数学应用题型的特色.

（1）对主干知识和基础知识的考查保持相对稳定.

从上表可以看出今年整套试卷在考点分布上，仍然注重对高中数学主干内容三角函数、立体几何、解析几何、概率与统计、数列、函数与导数等知识的考查，分值权重与2018年大体上一致.

无论文理都注重基础知识与基本能力的考查.理科第1、2、3、5、6、7、11、13、15、17、22、23为基础题，文科第1、2、3、4、5、7、11、13、15、17、22、23为基础题.

（2）考查的数学思想和数学方法保持相对稳定.

（3）考查的數学能力和核心素养保持相对稳定.

文科除第4、7题外，理科除第5、7题外，都考查了考生的运算求解能力;文科的第1、4、6、7、8、10、13、16、20题，理科的第1、2、4、5、6、7、12、16、21题都考查了学生的抽象概括能力;文科的第7、8、12、13、16、17、20题，理科的第7、8、11、12、16、17、21题都考查了考生的直观想象能力;文科的第6、7、15、17、18、20、21、22、23题，理科的第4、5、6、7、8、9、10、11、12、14、15、17、18、19、20、21、22、23题都考查了学生的逻辑推理能力;文科的第4题，理科的第12、18题都考查了考生的数学建模能力;文科的第14、19题，理科的第5、13题都考查了考生的数据分析能力.文科的第5、14、16题，理科的第4、13、16题考查了考生的阅读理解能力.无论文科和理科，对能力的考查，旨在考查数学学科核心素养.

（4）从源头来看，出自课本且高于课本的题目数量保持稳定.

如果认真审视2019年高考全国Ⅱ卷数学试题，在课本中能找到它们的“影子”.例如文科的第1、2、3、6、10、11、13、17、18、20、22题第（1）问、23题第（1）问，理科第1、2、3、7、10、14、17、21题第（1）问、22题第（1）问、23题第（1）问，都加工改编自课本中的经典例题或者习题.例如2019年全国Ⅱ卷文科第20题源自人教A版选修11课本第41页习题2.1A组第6题，2019年全国Ⅱ卷理科第21题源自人教A版选修21第二章第2单元第一节 《椭圆及其标准方程》第41页例3.这体现了课本是高考命题的策源地，对高中数学教学中要开发运用好数学课本具有很好的导向作用.

1.2 小创新

（1）题目顺序和结构的调整.

2019年高考全国Ⅱ卷数学打破常规的地方，在解答题的必考题目顺序上有了调整，理科第17题立体几何，第18题概率与统计，第19题数列，第20题函数与导数，第21题圆锥曲线，而2018年理科第17题数列、第18题概率与统计，第19题圆锥曲线，第20题立体几何，第21题函数与导数;文科第17题立体几何、第18题数列、第19题概率与统计，第20题圆锥曲线，第21题函数与导数，2018年文科第17题数列，第18题概率与统计，第19题立体几何，第20题圆锥曲线，第21题函数与导数.与2018年相比，理科解答题调整了立体几何、数列、函数与导数、圆锥曲线等题目的顺序，文科解答题调整了数列、概率与统计、立体几何等题目的顺序，题目顺序的调整体现了今年高考试题破除了近几年来形成的套路，特别是第17题设置为立体几何试题，给考生增加了陌生感.无论文科还是理科，填空题第16题首次出现一题两空的情况.理科第21题圆锥曲线试题第（2）问中又设置了两问.文理科都没有考查程序框图和三视图，理科没有考查线性规划，这体现了高考试题题型的创新性.因为2017年版《普通高中数学课程标准》进行了课程内容调整，程序框图、三视图和线性规划都被删除了.文理科选做第22题都考查了极坐标系方程和轨迹方程的求解，借助直角坐标系和极坐标系的互化已经很难解决这道试题，因为试题回归到了对极坐标系本质的考查，难度比往年加大.

（2）减少了文理科同题数量.

在2018年数学高考中，文科的第3、4、6、7、8、12、14、17、18、20、22、23题以及19题的第1问分别和理科的第3、4、5、6、7、11、14、17、18、19、22、23题以及20题的第1问完全相同.在2019年的数学高考中，文科的第7、9、11、12、14、16、17题第（1）问、22、23题分别和理科的第7、8、10、11、13、16、17题的第（1）问、22、23题相同.文理科的同题数量减少，有利于增加理科试卷的难度，因为数学是基础学科，高考是高校选拔人才的依据，高校对理工类考生的数学要求更高.

（3）加强创新意识和应用意识的考查.

文科第4、5、14、19题，理科第4、5、13、18题，都考查了考生的创新意识和应用意识.文科第4题以“一带一路”作为试题背景，背景公平，试题新颖，将时政融入了高考试题，考查了数学文化的理性精神价值.理科第13题以我国高铁列车的发展成果为背景，有利于引导学生关注现实生活和经济发展.理科第4题结合“嫦娥”四号实现人类历史首次月球软着陆的技术突破为素材，以物理学中典型的牛顿运动定律和万有引力为背景，考查了考生的近似估算能力，贴合物理知识，关注了物理学科和数学学科之间的联系，反映了我国航天事业取得的巨大成就，在浙江和上海等实行“3+3”新高考模式的省市，选考物理的人数相比较少，高考数学试题在数学知识和物理知识的学科交汇处命题，可以很好地弥补这一不足，便于引起考生重视物理知识，重视数学和物理等基础学科，可以为我国发明更多创新型科研成果奠定基础.文理科第16题以我国古代官员独孤信的印信为背景，独孤信在我国历史上以讲诚信出名，体现了我国古代数学智慧的传承与发展，也体现出了诚信是做人的最基本的道德准则，体现出了诚信是中华民族的优良传统.这道试题可以看成将德育融入了高考数学试题，启发我们要在高中数学教学中渗透德育教育，独孤信的印信体现了数学的对称美，这道试题同时可以看成将美育融入了高考试题，体现了数学文化的美学价值，有利于增强中华民族的文化自信和民族自豪感.理科第18題以我国国球乒乓球运动的11分制10平后的乒乓球比赛结果的预估提出问题，要求考生应用数学分析方法分析和解决体育问题，真正将体育教育融入了高考数学试题，体现了数学的应用价值.

2 备考建议

2.1 时间安排

第一轮复习（2019年8月—2020年2月）;

第二轮复习（2020年3月—2020年4月中旬）;

第三轮复习（2020年4月中旬—2020年5月中旬）.

2.2 第一轮复习注意事项

第一轮复习主要强调对考点知识全面覆盖基础上的学科体系构建.《2019年甘肃省高考数学考试说明》明确要求：“突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查”，既全面考查，又突出重点，既注重数学本质，又注重内在联系.在一轮复习中要做到回归课本，夯实基础，构建知识网络，要把握好复习难度.近几年内高考数学试题遵循“大稳定，小创新”的方针，重视基础知识和基本技能的考查.回归课本应贯穿一轮复习的自始至终.因为课本是数学知识的“生长地”，课本是高考复习的“根据地”，回归课本是高考复习的起点.研课本，就是要看考题与课本的关系，从高考的要求出发，把课本熟化，公式定理能信手拈来，基本题型能“借题发挥”.在回归课本的基础上，要着重强化对知识的梳理、优化知识结构、构建知识网络.在一轮复习中，要注重通性通法，例如破解高考解答题中空间角通法为法向量法，解析几何中的设而不求法.在一轮复习教学中，“先罗列概念，再对应性的例题选讲”型模式的复习课并不少见，但这种课一般不会有好效果.因为“罗列”对优等生来说，不新奇，无刺激，他们不会积极参与;对后进生来说，光凭“罗列”也会不了，记不住，所以也不会有兴趣.好的方法是重点概念采取“问题趋动”，在解决问题中获取概念.

2.3 第二轮复习注意事项

第二轮复习中，主要是强化框架性问题的梳理和专题综合训练，提升学生知识迁移、学以致用的能力.

（1）研高考，锁定复习方向.

研究高考试题的源头.高考题的两个重要源头，源自教材和历年高考真题.通过分析历年全国新课标高考真题的变化趋势，弄清楚哪些知识和方法是必备的，哪些是可以拓展的，哪些是可以整合融汇贯通的，哪些是高频考点，哪些是次高频考点，然后编写二轮复习专题，可以按学科主干知识为体系编写模块.由于高考试题注重考查从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，因此在二轮复习专题中要设置一些数学知识交汇的题目.

（2）研究学生实际.

二轮复习中，深刻研究学生实际，仍然以中档题为主，立足中下题，二轮复习期间做多少个专题训练，每周几个大专题，几个小专题，何时做，都要有大致计划与部署，数量的有效控制和时间安排直接制约二轮复习的效果，要引导学生不断反思总结.二轮复习专题的编写把着力点放在高考重点和热点上、学生问题的盲点、误点、困惑点上.

（3）在二轮复习中，运用好一题多解和一题多变.

在二轮复习教学中，我们要尝试对典型题目进行多解探究和变式探究，通过“一题多解”和“一题多变”演绎问题的产生过程，打破思维定势，提高学生思维的变通性，开拓学生的知识视野，增强学生的综合思维能力和发展创造思维，同时有助于学生深刻理解知识的系统性、特殊性和广泛性，提高学生的综合思维能力和解题能力，提升学生的数学核心素养.

2.4 三轮复习

三轮复习则主要是调整状态，反思构建，完善应试策略，积淀学科素养.三轮复习中，每周安排两到三次模拟训练，规定训练时间为2小时，模拟题的选取中，要根据学生实际学情，以中难度的题为主，突出高频考点，各部分知识在卷面中占多少分值要做到心中有数.我们要对每次模拟题训练后批改点评，引导学生查缺补漏，回归课本.反思总结，引导学生运用正确方法解题.

2.5 其他注意点

（1）研《考试说明》.要留心考试说明中变化，例如《考试说明》对双曲线的要求改为了解，那么若有双曲线考题，也是比较简单的.要关注教育部考试中心任子朝教授等专家的文章，研究这些高考考试研究文章中所透露出的高考新动向.

（2）在高三复习中，要着力以三角函数，数列，圆锥曲线的复习为载体，训练学生的运算求解能力.

（3）复习要细化，不能留下盲点，新增内容的考查如火如荼，不能主观臆断地认为哪些考哪些不考.

（4）高三复习中要做到：知识理解要深化，例如2019年高考文科和理科第22题，只有深刻理解了极坐标方程的定义、直线和圆的极坐标方程的推导过程才可能做对;解题规律要类化;通性通法要强化;解题思路要优化.

3 2020年命题趋势预测

2020年全国Ⅱ卷数学试题整体要比2019年全国Ⅱ卷数学试题略难，具体为2020年高考命题客观题将比2019年难度有所提升，解答题和2019年持平.预计2020年，选择题中，将有以数学和物理知识交汇为背景旨在考查素养的试题;填空题中会有两空的试题;解答题目顺序将会进一步调整;解答题中会有解三角形试题，数列试题将出现在选择题或填空题中;文理科小题中都会有一道考查概率或者数列知识的数学文化试题;将有3道以上考查阅读理解能力的试题;应用题可能会有考查考生创新意识和探究能力的开放性试题;选考第22题坐标系与参数方程试题将考查参数方程的本质.

作者简介 罗文军（1986—），男，甘肃秦安人，中学二级教师，本科学历，主要研究高中数学一题多解和高中数学文化.2015年2月被聘为首批华中师范大学考试研究院特聘研究员，2016年3月加入甘肃省数学教育研究会，2016年9月被陕西师范大学聘为《中学数学教学参考》特约编辑. 发表论文100多篇.有多篇论文被中国人民大学报刊复印资料《高中数学教与学》全文转载.

刘娟娟（1988—），女，甘肃秦安县人，发表省级论文4篇，多次获得国家级和省级论文奖，曾被评为秦安县园丁奖.