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造成数学学习中“懂而不会”现象的五大原因

2019-12-06宁永楠武瑞雪

中学数学杂志(高中版) 2019年5期
关键词:数学学习

宁永楠 武瑞雪

【摘 要】 数学学习中“懂而不会”现象严重困扰着教师和学生.产生这种现象的五大原因:学生不擅于纠错反思,没有养成归纳记录易错题、典型题的好习惯;学生没有形成系统的知识结构; 学生缺乏必要的巩固训练;教师知识结构不完整、不系统,掌握的解题方法不全面; 教师课堂上就题讲题,缺乏相应的变式训练.

【关键词】 数学学习;懂而不会;原因

很多学生反馈“上课时能听懂老师讲的,可自己一做就不会;能看懂课本内容,可解题时就没有思路或者有思路也做不对”.也有好多教师抱怨“此类型题讲过、练过,可错误率还很高”.

这种“懂而不会”现象在数学学习中频频发生,它严重困扰着教师和学生.那么,造成这种现象的原因是什么?为什么学生能看懂、听懂,可一做就不会了呢?笔者认为主要原因有如下几点.

1 学生不擅于纠错反思,没有养成归纳记录易错题、典型题的好习惯

罗增儒教授曾经说过:“检验解题过程也是提升解题能力、积累解题经验、锻炼数学思维的一个重要途径”.但是,许多学生没有解后检验的习惯,没有尝试一题是否有多个解法,一题是否可多变. 特别地,对于错题,有些学生总是不能及时查找错因,导致再遇到同类型题时还犯同样的错误. 可以说,养成“错题必纠正必整理”的习惯是消减“懂而不会”现象最为有效的策略之一.

错因可能是计算马虎、审题不细、分类不全、概念不清、性质模糊、转化不等价、书写不规范、忽视隐含条件、忽视公式适用条件等等,诸如此类,对于这些原因,学生若能分类整理,建立错题集,时常翻阅,就能有效规避“懂而不会”现象的发生.

还有很多学生不及时归纳整理典型题,没有形成文字记录,当时感觉是掌握了,时间稍久就忘得一干二净,再遇到这种“眼熟”的题型,就不能顺利解答,造成“懂而不会”现象的发生.

2 学生没有形成系统的知识结构

众所周知,综合性再强、难度再大的题目也是由简单的知识点组合而成的,若学“东”忘“西”,知识结构不完整、不系统,则解题时定会思维受阻,不能彻底解答.所以,不但要认真体会、感悟、理解、掌握每个孤立的知识点,还要将前后知识点连贯起来,形成系统的知识结构,养成学完一节、一章、一本书的内容,都能及时复习、整理,形成知识串,做到“既能见树木,又能见森林”,确保需要时能“信手拈来”,不能因某个知识点的“模糊不清”而“不会“做题.

案例1 对于两个定义域相同的函数f(x)和g(x),若存在实数m,n,使h(x)=mf(x)+ng(x),则称函数h(x)是由“基函数f(x),g(x)”生成的.试利用“基函数f(x)=log2(4x+1),g(x)=x”生成一个函数h(x),且同时满足以下条件:①h(x)是偶函数;②h(x)的最小值为1.求h(x)的解析式.

分析 此题属于“新定义”型题目,考查一次函数、对数型函数、偶函数、基本不等式、对数的运算性质、函数的最值求法以及函数解析式的求法等,综合性较强,难度中等. 测试后发现部分考生不会,后经了解得知,主要是这些学生的知识结构不完整、不系统,各知识点处于零散状态,导致不理解新定义“基函数”的含义,不能充分利用“偶函数”、“最小值”等条件对题目进行等价转化、建立等量关系,从而导致做不出来.

解 设h(x)=mlog2(4x+1)+nx,则h(-x)=mlog2(4-x+1)-nx.

由h(-x)=h(x),得mlog2(4-x+1)-nx=mlog2(4x+1)+nx,整理得mlog2(4-x+14x+1)=2nx,即mlog24-x=2nx,即-2mx=2nx对任意x恒成立,所以m=-n.

所以h(x)=-nlog2(4x+1)+nx

=-n[log2(4x+1)-x]

=-n[log2(4x+1)-log22x]

=-n(log24x+12x).

设y=4x+12x,令2x=t(t>0),则y=t2+1t=t+1t≥2.

当且仅当t=1时取到“=”.

所以log2(4x+12x)≥1,又h(x)最小值为1,所以n<0,且n=-1,此时m=1,所以h(x)=log2(4x+1)-x.

3 学生缺乏必要的巩固训练

有句话说得好“我听过了,我就忘了;我看见了,我就记得了;我做过了,我就理解了.”在数学学习中,有的学生错误地认为听懂了、看懂了就一定能做出来,学习时只是听、看或只进行简单模仿,而懒于动笔做巩固训练,更懒于做限时巩固训练.有的学生盲目地自信,做题时“偷工减料”,常常只写思路或列出主要式子,将计算过程省掉,还误认为这样可以节省时间,提高效率.久之,运算能力、基本技能下降,导致独立做题时,半途而废、漏洞百出,从而出现“懂而不会”现象.

案例2 已知直线l:y=kx+m与椭圆C:x24+y23=1相交于A,B两点,且kOA·kOB=-34,求证:△AOB的面积是定值.

分析 本题的解题思路非常清晰,其过程如下:

第一步,将直线方程与椭圆方程联立y=kx+m,

x24+y23=1,消去y化簡得,

(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3m2-12k23+4k2.

因为kOA·kOB=y1y2x1x2=-34,所以2m2=3+4k2

所以弦长AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2

=(x1-x2)2+(kx1+m-kx2-m)2

=1+k2x1-x2

=1+k2(x1+x2)2-4x1x2

=24(1+k2)3+4k2.

第二步,求出点O到直线l的距离为d=|m|1+k2.

第三步,利用弦AB的长及点到直线距离d,表示出△AOB的面积:S=12AB·d=12×24(1+k2)3+4k2·m1+k2=12×24m23+4k2.

第四步,将①代入②,化简得到面积定值为3.

点评 一般来说,直线与圆锥曲线的综合问题,解题思路都很清晰,在教师悉心引导、分析下,学生能听懂或看懂,甚至有的学生还能熟练说出每一个步骤.但是,圆锥曲线类题目往往运算量很大,若平时不动手去演算,考试时是很难有耐心算出最后结果的.在独立做题时会“断片”、“卡顿”,最后只能草率了事,造成“懂而不会”现象的发生.

4 教师知识结构不完整、不系统,掌握的解题方法不全面

俗话说得好“打铁还需自身硬”.若教师不善于钻研,知识结构不完整,对常见的或好的解题方法不积累、不归纳,则易导致解题教学时,方法选取不当,不能很好地引导、点拨学生,对综合性稍强的题目就无从下手,或下手方向不对,甚至出现“挂课”的尴尬现象.

做为教师,应积极钻研,不断学习、积累、充电,备课要充分,要擅于进行一题多法、一题多变的教学,只有自己昭昭,才能让学生昭昭.

案例3 (2008年江苏高考第14题)在△ABC中,AB=2,AC=2BC,则△ABC面积的最大值是

.

解法1 设BC=x,则AC=2x.

根据面积公式得,S△ABC=12AB·BCsinB=12×2x1-cos2B.

再根据余弦定理得,cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=4+x2-(2x)24x=4-x24x.

将②代入①式得,S△ABC=x1-(4-x24x)2=128-(x2-12)216.

由三角形三边关系得2x+x>2,

x+2>2x,解得22-2     故当x=23时,S△ABC取得最大值22.

解法2 以AB所在直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设C点坐标为(x,y),由AC=2BC,得(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2,化简得到C点轨迹方程为(x-3)2+y2=8(y≠0),设点C到直线AB的距离为d,则S△ABC=12AB·d=d.

所以,要求△ABC面积的最大值,只要求圆(x-3)2+y2=8上的点到直线AB的距离的最大值即可.易知d的最大值就是圆(x-3)2+y2=8的半径22,所以三角形面积的最大值为22.

点评 此题的题面是三角形问题,根据上面的解题过程,我们不难发现,若按解法一,先得S△ABC=12×2x1-cos2B,再将cosB=4-x24x代入,得S△ABC关于x的函数,再根据三角形任意两边之和大于第三边,得到x的取值范围,进而得到面积最大值,但这样做计算量太大,过程太繁琐,很容易因计算错误而前功尽弃,或因心理惧怕、不耐烦而放弃,但若能根据条件AB=2,AC=2BC联想到阿波罗尼斯圆,则容易探究出解法二,快速地求出结果.

可见,教师知识结构完整、系统,掌握的解题方法全面,在进行解题教学时,就能高屋建瓴,一题多法,且能指导学生进行优法采撷,这对提高学生的解题能力,消减学生在学习中的“懂而不会”现象将是非常有益的.

5 教师课堂上就题讲题,缺乏相应的变式训练

很多教师在进行解题教学时,往往缺少相应的变式训练,没有变换原来题目的条件或结论,编制新的题目,没有让学生从“变”中发现“不变”的要素和本质,重在“就题论题”而不是“就题论法”\[1\].这是造成“懂而不会”现象的另一个重要原因.

案例4 (2016年徐州一检第13题)已知A(0,1),B(1,0),C(t,0),点D是直线AC上的动点,若AD≤2BD恒成立,则t的取值范围为

.

解 设D(x,y),则AD=x2+(y-1)2,BD=(x-1)2+y2.

若AD≤2BD,则x2+(y-1)2≤2(x-1)2+y2.

化简得(x-43)2+(y+13)2≥89.

由A(0,1),C(t,0)两点得直线AC:x+ty-t=0.

由题知,直线AC与圆(x-43)2+(y+13)2=89没有公共点或有且只有一个公共点,所以(43,-13)到直线AC的距离d=43-13t-tt2+1≥223=r,化简得t2-4t+1≥0,所以t≥2+3或t≤2-3.

点评 本题综合性较强,它是在阿波罗尼斯圆的背景下,考查恒成立问题,如果讲解时只是就题论题,学生或许能听懂,但将条件稍做改变,学生可能就不懂、不会或做不对.

在教学时,可引导学生编制如下变式题:

变式 已知A(0,1),B(1,0),C(t,0),若在直线AC上存在点D,使AD≥2BD成立,则t的取值范围为

.

解 由上题得(x-43)2+(y+13)2≤89,

由题知直线AC与圆(x-43)2+(y+13)2=89有公共点,所以(43,-13)到直线AC的距离d=43-13t-tt2+1≤223=r.

化简得t2-4t+1≤0,所以2-3≤t≤2+3.

将原题与变式题放在一起对比讲解,则利于学生理解“恒成立”与“能成立”两类问题的共性和不同,利于消减“懂而不会”现象.

6 结束语

造成数学学习中“懂而不会”现象的原因,绝不止上面所提及的,还有很多,比如从教师角度出发,教师提问后留给学生思考的时间不足;不擅于稚化自己的思维;教学时不擅于暴露师生探究解法的思维过程,特别是学生易错的思维过程,而总是由教师“直接告知”;让学生自学、阅读时,没有具体的任务要求\[2\];板书设计不合理,缺乏条理性、规范性、完整性、示范性,导致学生错误“模仿”等.从学生角度出发,学生缺乏主动思考、探究的习惯;心理素质差,因紧张看错题目或者誊写错误,甚至因紧张、焦虑出现“记忆短路”;做题时心浮气躁,不能沉着冷静地分析题目的条件及所求;不擅于利用图形辅助分析和解题;思维不严谨,逻辑性差;没有认真对待解题的各个环节(理解题目、拟定方案、執行方案、回顾):审题过快(题意不清,就提笔作答),方案拟定不佳(没有从不同角度思考,导致所选解法过于繁琐),不擅于回头验证(导致运算频频出错)等等.

学情、教情不同,原因各异,为了更有效地规避“懂而不会”现象的发生,做为数学教师,应予以重视,把数学学习中“懂而不会”现象当作一个课题进行研究.

参考文献

[1] 徐存新,武瑞雪.浅谈高中数学教学中的变式题教学——以消除懂而不会现象为例\[J\].中国数学教育,2016(12).

[2] 武瑞雪,陈莹,徐存新,管勇.因“教师不会教”致教学低效之现象剖析\[J\].中国数学教育,2016(6).

作者简介 宁永楠(1984—),女,大学本科,中小学一级教师.

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