偏微分方程解的一种新求法

李 伟

(渤海大学 数理学院， 辽宁 锦州 121013)

0 引言

非线性偏微分方程的解法受到如数学、物理学、工程学和生物学等各个学科工作者的广泛重视，为了寻求它们的解法，科学家做了大量而有益的工作，同时得到了一些行之有效的求解方法，如分离变量法、反散射方法、Backlund变换法、Hirota双线性方法、Darboux变换法、tanh函数法、Riccati方程法等〔1-7〕.本文借助于行波变换法〔8〕，拟解法和齐次平衡法〔9-13〕获得了Burgers方程和Boussinesq方程组的全新的精确解.

1 (2+1)维Burgers方程的新的精确解

(2+1)维Burgers方程如下：

(ut+αuux+βuxx)x+γuyy=0

(1)

假定(1)有如下形式的解：

u(x,t)=u(ζ),ζ=kx+hy+wt+ζ0

(2)

k,h,w是待定常数，ζ0为任意实常数. 将(2)代入(1)整理并且积分两次，积分常数均取0，(1)变为

(3)

借助齐次平衡法，令(3)的拟解的具体形式为

u(ζ)=a0+a1φ(ζ)

(4)

ai是待定常数,φ(ζ)是函数且满足方程：

φ′(ζ)=φ2(ζ)+λφ(ζ)

(5)

其中

(6)

为(5)的解.

将(4)和(5)代入(3),得到关于φi(ζ),(i=0,1,2)的方程，令φi(ζ),(i=0,1,2)的系数为0，得到关于ai(i=0,1)的代数方程组，利用Mathematica运算，求两组解：

(7)

将(4), (6) 和(7)代入(2)，就得到(1)的新的精确解，即：

(8)

ζ=kx+hy+wt+ζ0.

2 Boussinesq方程组的新的精确解

Boussinesq方程组如下

(9)

假定(9)有如下形式的解：

u(x,t)=u(ζ),v(x,t)=v(ζ),ζ=x+kt+ζ0

(10)

k是待定常数，ζ0为任意实常数. 将(10)代入(9)整理并且积分，积分常数均取0，则(9)变为

(11)

借助齐次平衡法，令(11)的拟解的具体形式为

u(ζ)=a0+a1φ(ζ)+a2φ2(ζ),v(ζ)=b0+b1φ(ζ)

(12)

ai(i=0,1,2),bi(i=0,1)是待定常数,φ(ζ)是函数且满足方程(5),

将(5)和(12)代入(11),得到关于φi(ζ)(i=0,1,2,3)的方程组，令φi(ζ),(i=0,1,2,3)的系数为0，得到关于ai(i=0,1,2,3),bi=(i=0,1)的代数方程组，利用Mathematica运算，求两组解：

a0=0,a1=2k,a2=-2,b0=-2k,b1=2,λ=-k

a0=0,a1=-2k,a2=-2,b0=-2k,b1=-2,λ=-k

(13)

将(12), (13) 和(6)代入(10)，就得到(9)的新的精确解，即：

(14)

其中ζ=x+kt+ζ0.

3 结论

利用行波变换法、拟解法、齐次平衡法获得了Burgers方程和Boussinesq方程组的全新的精确解.这种方法也用于解其他非线性偏微分方程(组).精确解的获得将为近似计算,定理分析等现实问题提供必备的基础.