基于案例分析的初中数学几何基本图形的教学探索

2019-12-04顾成华

数学大世界·中旬刊 2019年9期

顾成华

【摘要】笔者基于数年的教学实践，以勾股定理与翻折的基本图形——红旗模型为例，探索如何指导学生习得基本图形并教会学生直接或间接提取基本图形，最终运用基本图形解决问题的教学思路。

【关键词】几何；基本图形；解题思路

在进行几何教学过程中，常会发现有些学生面对一些陌生的问题时往往束手无策，也有不少学生只会做那些刚见过、做过的，比较熟悉或相似的题目。当学生不会做题时，问他在思考时都想到了什么，他往往会回答：“大脑中一片空白，不知道怎样想。”学生提炼不出解题思路的根本原因，笔者以为是学生不能把问题化归转化，是缺乏分析推理能力的表现，究其原因，是对数学基本图形不熟悉。教师需要在平时的教学过程中有意识地帮助学生提炼基本图形，强化训练基本图形。教师应告诉学生：在分析几何问题时，首先要试图找出、分离适当的基本图形，如果不能找到完整的基本图形，那么要根据题干中的线索去捕捉部分基本图形，这时可通过添加适当的辅助线来构造完整的基本图形，进而应用基本图形的性质来解决具体的问题。显然，学生习得、提取基本图形的能力还有待提高。

一、基本图形的概念

所谓基本图形，应该是我们分析解决几何问题时，从问题图形中分离出来的最简单、最基本、最重要而且具有特定性质的图形。从基本图形运用的难易程度来看，它可以分为两类：第一类是现行初中数学教材中出现的定义、公理、定理以及推论所对应的图形，第二类是在教材对应的例题、习题、练习中发现的具有典型性的图形。第一类基本图形是第二类基本图形的基础，第二类基本图形通常是由几个第一类基本图形组合而成的。

图1是定理“三角形中位线平行于第三条边，并且等于第三边的一半”所对应的基本图形，属于第1类基本图形，图2是“中点四边形”所对应的基本图形，由对角线相等可得中点四边形是菱形，由对角线互相垂直可得中点四边形是矩形，反推亦成立，这就属于第2类基本图形。

二、初中数学几何教学中对于基本图形教学的几点思考

《数学课程标准》在几何方面的学习要求是让学生“能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系，利用直观来进行思考”。基于多年的教学实践及平日的探索，笔者以为，应把习得基本图形、直接提取基本图形、间接提取基本图形相结合，从而实现对基本图形的掌握和灵活运用，这可通过以下几个步骤实现：

1.通过教学习得基本图形，熟知基本图形的条件和结论以及证明或求解的方法

教材中几何的复习课一般都是几何的定义、定理、推论等的进一步学习，往往可以对已经习得的知识进行更高层次的升华，而它们所对应的基本图形就是前面所说的第2类基本图形，因此教师在上课时要注重对这些基本图形的总结和提炼。

答案是都可以求出来的，因此，可以得到这个基本图形的条件是：直角三角形，两条线段相等，知道两条线段的长度（不包括题中两条相等线段的情况），可以求出基本图形中其他线段的长度。

这是勾股定理和翻折构成的基本图形，属于第2类基本图形，由于此图形形状类似于红旗，为了方便学生记忆，遂把这个基本图形定名为“红旗模型”。

红旗模型还有一些其他结构，比如《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B（如图4）水深和芦苇长各多少尺？

本题转化为数学问题是：如图5，已知∠CBD=90°，AC=CD，AB=0.5，BD=2，求BC的长度。

再比如：如图6，∠ACB=90°，BC=BD，已知AD和AC的长度，可以求BD，BC，AB的长度。这两道题都可以进行类似的改编，解题方法也都和图3类似。

2.通过发展条件和结论反推，直接提取基本图形解决问题。

所谓直接提取基本图形，就是在有其他图形干扰的情况下，能够根据条件或结论找出基本图形。因为通过学习已经对某个基本图形有所了解和理解，学生就能有的放矢，直接依据题设条件或结论提取相应的基本图形，并运用基本图形的性质解决问题，例如：

如图7，折叠直角三角形ABC，使直角边AC落在斜边AB上（AD为折痕，C落在E上），已知AC=6，BC=8，求CD的长。

解答：由勾股定理易得AB=10，BE=4，由翻折得CD=DE，故可以找到如图8的基本图形，即可求出答案。

变式：如图9，折叠直角三角形ABC，使点B落在点A上（DE为折痕），已知AC=6，BC=8，求CD的长。

解答：可在图形中直接找到基本图形，如图10，大多数学生都可以又快又准确地完成这道题。

3.通过添加适当辅助线，间接提取基本圖形解决问题

如果无法直接提取基本图形，可考虑作适当的辅助线来构造基本图形，通过间接提取基本图形来解决问题。在学生极其熟悉基本图形，能够准确提取后，就要引导学生能辨认出略带残缺的基本图形，经过多样的反复训练后，使其内化成为学生的数学素养，并能在应用过程中举一反三。

笔者挑选了几个典型的题目，结合自己的教学心得，谈谈这个解题技巧，以作参考。

例1：如图11，矩形OABC在平面直角坐标系xOy的第一象限内，点C在x轴正半轴上，点A在y轴正半轴上，连接AC，将矩形OABC沿AC翻折，使点B落在点D的位置，若点B的坐标为（2，1），则点D的坐标是_________。

解答：设CO与AD相交于点E，折叠后CD=CB=OA=1，由平行线、角平分线构成的基本图形可得等腰三角形ACE，再设CE=AE=x，在Rt△AOE中，由勾股定理求出x的值，然后作DF⊥x轴，根据△AOE∽△DFE即可得出答案。

评注：本题是利用相似三角形对应线段成比例建立方程求解，困难之处在于比例式中有部分线段长度未知，通过翻折构造红旗模型，如图12，则可化解这一难点。

例2：如图13，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5。在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK。如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你探究可能出现的情况，求出最大值。

解答：（1）將矩形纸片对折，使点B与点D重合，如图14。此时点K也与点D重合，由平行线、角平分线构成的基本图形可得等腰三角形DMN，再设KM=x，则AM=5-x，由勾股定理求出KM和KN的值，最后求出△MNK的最大面积。（2）也可将矩形纸片沿对角线AC对折，如图15，下面的解法和第（1）种情况相类似。