承前启后 深耕本原——由“直线与圆的位置关系”引发的思考

□刘清清 卫德彬

（肥西县上派初级中学，安徽肥西 231200）

一、考试分析引发的调研

问题 如图1，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于点D.以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作圆O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由.

图1

图2

以上问题是2019年肥西县教育局组织的九年级第一次质量调研考试中的一道解答题，图2 是该问题的尺规作图.第一问，考查的知识是“直线与圆的位置关系”.为了了解笔者学校的1150名学生对“直线与圆的位置关系”知识的掌握情况，针对第一问，对全校学生解答情况进行统计.统计结果大致分为三种：①作图正确，判断正确，经过严格推理证明说明判断正确；②作图正确，判断正确，通过观察图2的图象（无证明过程）说明判断正确；③其他.具体统计数据如表1.

表1

由表1 可见，有23.1%的学生采用观察图象完成第一问，而未选择推理证明.为什么会出现这种现象呢？基于疑问，笔者对结果②的266名学生随机抽取11人进行访谈.

教师：为什么会想到这样去解答这道题？

学生a：判断直线与圆的位置关系，有两种方法，一种是利用d与r的关系，一种是利用直线与圆交点的个数.（其他学生附和）

教师：为什么平时“证明直线与圆相切”时，不选择判断交点个数的方法？

学生b、学生c、学生d：因为题目中明确要求“证明”，就必须证明.（其他学生附和）

教师：这一题为什么没有选择证明？

学生b：因为题目没有明确要求我们证明，只是说“说明理由”，既然从图中可以清晰地看出一个交点，就选择数交点个数.并且用图形解题更快，更节省时间.（其他学生附和）

教师：不怕观察有误吗？或是作图不准，造成观察错误？！

学生b、学生e、学生f：不会.因为直线与圆的位置关系中最有考试价值的只有“相切”！（其余学生附和）

由访谈结果可知，结果②的学生对数学考试的“精准”把握是通过对题目意思以及“数形结合”的理解来实现的.

那么，为什么会出现这种答题心理呢？

二、寻根究底找症结

我国人教版九年级数学教科书对切点的定义是：如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫作相切.在教师用书中，本节的教学建议如下：对于直线和圆相切，要向学生指出：这时的公共点是唯一的，有且仅有一个.由直线和圆的三种位置关系，教科书通过一个“思考”栏目，直观得到圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系.这三个结论，通过观察和思考，学生容易得到.应使学生明确，它们既可以作为各种位置关系的判定，也可以作为位置关系的性质.这里，还可以进一步指出：直线和圆的位置关系既可以用它们交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离和半径的数量关系区分，它们是一致的.接着教师用书给出表2辅以说明.

表2

这段话和表2强调，在分析直线与圆的位置关系时一定要注意数形结合，通过交点的个数也可以判断直线与圆的位置关系.于是，学生“犯错”的原因就浮出水面：①把“判断”当成“说理”.②把“直接观察”的结果当作严格的说理证明.③不理解直线与圆位置关系的本质.那么，直线与圆位置关系的本质是什么呢？教师又该怎样去进行正确的引导呢？

三、追本溯源定教法

判断直线与圆位置关系的代数方法是利用“圆心到直线的距离”与“半径的大小”作比较，即转化为垂线段与半径的大小关系，而垂线段就是圆心与垂足的距离.垂足与圆的位置关系决定着直线与圆的位置关系.综上，判断垂足与圆的位置关系，本质上还是判断点与圆的位置关系.随着学生知识的丰富，在未来的高中教育中，学生就会深晓：相切是极限的一个应用，利用交点个数“决定”是否相切实际上是完全错误的.教师应该适当地利用“超前”的思想（极限思想）来引导学生正确理解相切，而不是从交点个数的角度.否则，就会给学生后续的学习带来影响.

那么，如何让学生已经学习的知识不与后续学习的内容产生认知冲突呢？笔者认为应该在课堂教学设计上做到既要“承前”，又要“启后”，要抓住核心，深耕知识的本原.教学目标应与学生今后的发展相结合，既要让学生获得知识，又要考虑到学生今后的发展和学习.鉴于此，直线与圆的位置关系这一课题还需要重新架构教学过程.

四、承前启后重架构

基于以上考虑，笔者提倡一种承前启后、深耕本原的教学思路，具体阐释如下.

（一）温故知新巧导入

首先，以承前式的提问，带领学生进入问题，从新的角度认识直线与圆的位置关系.

教师：我们刚刚学习了点与圆的位置关系，请同学们说一说点与圆的位置关系有几种，又是如何判断的.

学生回答完毕后，教师展示点与圆的位置关系的要点.

教师：若是把点换成直线，直线上的任意一点与圆的位置关系如何呢？（多媒体展示点换成直线，并呈现圆与直线相离的情况）

学生1：都在圆外.

教师：具体说一说.

学生2：直接观察得到.

学生3：在直线上任意找一点记为A，连接AO，因为AO>r，所以直线上的点在圆外.

教师：像这种直线与圆的位置关系我们叫作“直线与圆相离”.同学们，今后判断直线与圆是否相离，有没有更简捷的方法呢？

学生代表：找到离圆心最近的点，判断该点与圆的位置关系即可.过圆心作直线的垂线，因为垂线段最短，所以垂足就是离圆心最近的点.因为垂线段大于半径，则垂足在圆外，所以直线与圆相离.

教师继续拉动直线，直至直线与圆相交.

教师：这时，直线上的任意一点与圆的位置关系又如何？

学生4：有些点在圆外，有两个点在圆上，还有一些点在圆内.

教师：像这种位置关系我们称之为相交.请同学们思考，有没有类似于判断直线与圆相离的方法，简捷地判断相交呢？

学生5：还是找离圆心最近的点，也就是找垂足.垂线段小于半径，垂足在圆内，则直线与圆相交.

【设计意图】教学无论是何种形式，教学的初心是为了让学生更好地理解与认识新知，并为继续学习做好铺垫.承前启后的教学方式正是体现了这一宗旨.以前一节知识作为引入，通过点与直线的位置关系过渡到认识直线与圆的位置关系，这样的引入更为顺其自然，知识的逻辑关系更为流畅.

（二）极限思想来相助

在基础性知识学习的前提下，教师通过讲解、阐述、提问，带领学生更深入地进入问题的本质.

教师：这两个交点我们记为点A，B，现在点A固定不动，让直线绕着A点逆时针（或顺时针）旋转，请同学们仔细观看，说说你看到了什么.（见图3）

图3

学生6：点B沿着圆周慢慢地向点A滑动，并与点A重合，垂足H也与点A重合.

学生7：当点B越来越靠近A时，无论是逆时针还是顺时针旋转，直线的位置是确定的.

教师：像这样，直线与圆的位置关系称之为相切，唯一的公共点叫作切点，这条直线叫作切线.从上面的操作可以看到，切点是直线与圆相交步步夹逼出现的极限情形，我们将在高中学习极限.那么，我们还可以用类似于前面的办法判断直线与圆是相切的吗？

学生8：可以.当垂足在圆上时，直线与圆就是相切的.

【设计意图】直线与圆相切是初中生初尝极限思想的案例之一，几何画板动态地演示极限的思想，交点、切点、垂足的“三点合为点A”，于是引出相切.利用极限思想让学生体会直线与圆相切时垂足就是切点，而垂足只有一个，所以直线与圆相切时只有一个公共点.这才是直线与圆相切的本质所在.如此就避免了学生对相切理解的偏差，或是只局限于公共点个数上.

教师：由此我们可以看到，判断直线与圆的三种位置关系可以转化为判断什么？

学生9：判断垂足与圆的位置关系.若垂足在圆外，则直线与圆相离；若垂足在圆上，直线与圆相切；若垂足在圆内，则直线与圆相交.

学生10：判断垂线段与半径的关系.

学生11：判断圆心到直线的距离与半径的关系.

教师：直线与圆位置关系的判定也可以转化为判断垂足在何处！与我们上一节学习的点与圆的位置关系一脉相承.从“数”的角度来看，即是判断圆心到直线的距离与半径的关系.

【设计意图】深耕知识的本质，需要我们统观数学，思考知识的内在关联，关注旧知、新知、未学知识三者的相互衔接.回到本节课，判断直线与圆的位置关系（新知）就是判断垂足（点）与圆的位置关系（旧知），而相切就是极限情形（未学知识）.这样才关注了直线与圆的位置关系的本质，关注了新知与旧知的密切联系，关注了前面知识对后续学习的横向迁移作用.此时，学生对表2的理解是质的飞跃，而非停留在表面.

2013 年，章建跃在《构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考》[1]中提到学生的学习应该是“前后一致、逻辑连贯的学习过程”.此文警示我们教学时不能只顾着“一亩三分地”，要思考知识的前后关联，更好地让学生构建知识体系.教师如果在备课中做到“前后一致、逻辑连贯”，体现知识的承前启后，于生于师都是大有裨益的.如此双赢，我们为什么不去尝试呢？