浅谈高中阶段数学建模素养的培养

摘要：数学建模是数学学科核心素养的基本组成要素之一。数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是數学应用的重要形式。教师应在教学实践中不断探索和总结培养学生建模素养的有效教学策略。本文首先简要阐述了高中数学建模素养的培养路径，而后结合实例进行了具体探讨，冀对一线教师有所助益。

关键词：数学建模;核心素养;高中数学;新课标;教学体会

核心素养的提出是新一轮高中数学课程改革的最大亮点之一，随着课改不断深入，促进学生核心素养发展更成为一线教师的核心教学指向。数学建模是数学学科核心素养的基本组成要素之一。数学建模是真正意义上的“学以致用”的基础，是运用数学知识解决实际问题的必由途径，故而“数学建模”素养的培养对学生的发展尤其意义非凡。以下拟结合笔者的探索实践及体会对此作一简要探讨，冀对一线教师有所助益。

一、 建模素养培养路径

核心素养的实质是“必备品格”和“关键能力”，数学知识和技能在将来可能会遗忘，而且有很多可能根本不会用到，但核心素养则是跟随学生一生的东西，它是经过内化而形成的隐性的“思想指导”“行动指南”，在潜移默化中发挥重要作用。由此来看，核心素养的发展和养成必然是在大量的针对性训练中实现，也就是通常所说的“量变引起质变”，不经过这一关，所谓核心素养的培养也就沦为空谈。当然，这期间离不开教师的合理引导和有效点拨。具体到建模素养，按照课标中给出的定义，它是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。因而建模素养的培养离不开大量实际情境的创设和真实案例的列举。具体来说，教师要注重在教学中引导学生经历建立数学模型并应用其解决实际问题的过程，使学生形成深刻体验，实现从感性认识到理性认识的跃迁和升华，这也就代表着学生真正掌握了数学模型的本质。长此以往，必能在潜移默化中提升学生的建模素养。

二、 例谈建模素养培养

我们常说“数学来源于生活又服务于生活”，从广义上说，所有数学知识都可应用于实际问题的解决，也就是说在学习这些知识时可以渗透建模素养，只不过有的知识与实际联系更紧密，更多地被用于解决一些相关实际问题。教师要特别关注这些更具典型性的知识章节，在授课中积极落实建模教学，即在学生熟练掌握基本知识的基础上引入一些典型的实际问题，引导学生经过通过数学建模解决问题的过程。下面以指数函数为来进行较为具体的探讨。

众所周知，指数函数在很多实际问题中有着重要应用，其中不乏学生身边的一些热点生活问题。例如，某家私立小学采取这样的收费方式：学员入学时一次性交付费用8万元，学满六年后8万元全部返还。那么学校在一个学生身上的最高收益是多少？（注：学校在银行整存整取的现行利率是：一年期3.25%、二年期3.75%、三年期4.25%、五年期4.75%）

要解决这个问题难度并不大，只需利用指数函数建立模型，求出学校可以采取的所有存款方式的收益即可。根据题意，学校可以采取的存款方式有八种，即6次一年期、4次一年期和1次二年期、3次一年期和1次三年期、2次一年期和2次二年期、1次一年期和1次五年期、1次一年期、1次二年期和1次三年期、3次二年期、2次三年期。下面我们来看具体的建模及求解过程。

最简单的情况是存一年期，假设存n次（也就是存n年，在本研究问题中n=6），则利息的计算公式是：本金×（1+利率）n-本金=利息①;如果是一年期存n次，某个非一年期（可能是二年期、三年期、五年期）存m次（本研究问题中m+n=6），则利息的计算公式是：本金×（1+利率）n（1+利率）m-本金=利息②，显然，该式本质上与①式是一样的，当存款方式包含一年期和其他两种非一年期时，仍可基于①式来求解利息，只不过略加拓展而已（式中的利率项达到三个，其三个指数相加即为存款总年数），这种情况也就是第六种存款方式。由于该例问题相对简单，数学建模也相对容易，因而至此实际上已经可以确定该类问题的基本数学模型即为①式。但出于科学性和严谨性的考虑，笔者在实际教学中还是将第六种存款方式作为特例对数学模型进行了验证，这种情况下的计算式为8（1+0.0325）（1+0.0375）2（1+0.0425）3-8，显然是符合①式的拓展形式的。在此基础上推而广之，不包含一年期存款的情况是否亦符合①式呢？如本研究问题中的第七种情况和第八种情况，经过数学推理和计算验证，答案是肯定的。至此我们可以确定，一定本金存若干年如何获得最大收益这一实际问题，其基本的数学模型即为“本金×（1+利率）n-本金=利息”，在模型的实际应用过程中，则需要根据具体情况对模型加以合理拓展。在建立了上述数学模型后，就可以利用该模型表达式求取每种存款方式所获得的利息了。结果如下：

6次一年期：8（1+0.0325）6-8=1.6924;4次一年期和1次二年期：8（1+0.0325）4（1+0.0375）2-8=1.7864;3次一年期和1次三年期：8（1+0.0325）3（1+0.0425）3-8=1.9767;2次一年期和2次二年期：8（1+0.0325）2（1+0.0425）4-8=1.8815;1次一年期和1次五年期：8（1+0.0325）（1+0.0425）5-8=2.4172;1次一年期、1次二年期和1次三年期：8（1+0.0325）（1+0.0375）2（1+0.0425）5-8=1.7864;3次二年期：8（1+0.0375）6-8=1.9774;2次三年期：8（1+0.0425）6-8=2.2694。至此我们就通过建立指数模型的方式决定了最后答案，即学校从一个学生身上获得的最高收益为2.4172元，采取的存款方式是1次一年期和1次五年期。在实际教学中，教师要能够引导学生经历上述建模求解过程，并使其形成较为深刻的体验。经常如此，就能在长期的潜移默化过程中逐步培养学生的建模素养。

综上所述，本文首先简要阐述了高中数学建模素养的培养路径，而后结合实例进行了具体探讨。数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。教师应在教学实践中不断探索和总结培养学生建模素养的有效教学策略。本文抛砖引玉，尚盼同仁指教。

参考文献：

[1]关晶.高中数学核心素养的内涵及教育价值[J].亚太教育，2016（26）：1-2.

[2]邱光云.加强高中数学建模教学提高数学应用能力[J].数学学习与研究，2015（15）：38-39.

作者简介：

鲁永军，陕西省咸阳市，陕西省咸阳市旬邑县职教中心。