几何直观，是方法更是一种素养

陈蒨

摘  要：几何直观，不仅是一种方法，更是学生数学核心素养的重要组成部分。几何直观，是学生数学学习力的重要标识。在小学数学教学中，教师要引导学生深度表征、深层建构和深化思考。在数学教学中，不仅可以引导学生进行直观操作，而且可以引导学生进行直观变换，引导学生通过数形结合解决问题。作为教师，要充分发挥几何直观的教学功能，将几何直观贯穿于数学教学的始终。

关键词：小学数学;几何直观;教学方法;核心素养

“几何直观”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确提出的一个核心概念。在当下“互联网+”背景下，几何直观显得尤为重要。所谓“几何直观”，就是指学生“借助自我的经验、观察、测试或类比联想等手段，对事物对象、关系等的直接感知、洞察与认知”。在小学数学教学中，几何直观，不仅是一种方法，更是学生数学核心素养的重要组成部分。几何直观，是学生数学学习力的重要标识。作为教师，在数学教学中，要充分发挥几何直观的教学功能，引导学生的数学学习，促进学生对数学知识的深度表征、深度建构和深度应用。

一、借“几何直观”深度表征

数学是理性的、抽象的，而学生的思维却是感性的、直观的、具体的。如何引导学生理解抽象的数学知识？笔者认为，教师可以充分运用几何直观，对相关的数学学习内容进行深度表征。借“几何直观”深度表征，能让复杂的数学问题变得简约化，能让陌生的数学问题变得熟悉化，能让抽象的数学问题变得形象化。正如法国著名数学家笛卡尔所说的那样，“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此，用这种方式来表达事物是非常有益的。”也正如德国著名数学家希尔伯特在其名著《直观几何》中所认为的那样：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题，可以帮助我们寻求解决问题的思路，可以帮助我们理解和记忆得到的结果。”

在日常的数学教学中，笔者发现，一些学生在数学审题时经常容易发生偏差，常常不能抓住问题的要害，也就是不能抓住题目中的主要矛盾，或者说是矛盾的主要方。究其根本，是因为学生不理解题意。借助“几何直观”对数学问题进行深度表征，能促进学生对问题的本质理解。正如波利亚所说，“图形是学生数学学习的重要帮手”。比如教学一年级的排队问题：小朋友们排队，小明的前面有5人，后面有4人，这一队一共有多少人？小朋友们排队，从前往后数，小明是第5人，从后往前数，小明是第4人，这一队一共有多少人？对于这样的问题，学生往往就是简单地将两个数相加。有教师简单化地认为，这是因为学生没有考虑到小明本人。但问题在于，即使学生意识到“小明”的存在，也还是不能弄清楚应当加上“1”还是减去“1”。如果教师在教学中，能引导学生借助几何直观（如画示意图、画线段图、画符号图等）对题意进行形象化表征，就能帮助学生理解题意、描述问题。而当学生通过几何直观理解了题意，也就自然能形成问题解决的思路。正是在这个意义上，著名数学教育家斯蒂恩说，“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就能整体把握问题。”

用几何直观描述、表征问题，有助于学生直观地理解数学，有助于学生形成问题解决的思路。克莱因认为：“数学的直观是对概念、证明的直接把握。”用几何直观表征，说到底就是借助见到或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接把握。这种把握是建立人对自身体验与外物体验之间的对应关系。

二、借“几何直观”深层建构

如果说，用“几何直观”表征数学问题是一种“图导”，那么，借“几何直观”深层建构则是一种“图构”。从“图导”走向“图构”，彰显的是学生的创造性精神。著名数学教育家华罗庚先生曾形象地说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”的确，“几何直观”不仅能表征题意，更能引发学生的数学联想，实现学生对数学知识自主的、能动的、有意义的建构。在建构过程中，尤其要让学生在思维障碍处明理、在知识混淆处辨析。

比如教学《乘法分配律》（苏教版四年级下），教材是呈现了学生学校生活中的一个场景：四年级有6个班，五年级有4个班，每个班领24根跳绳，四五年级一共要领多少根跳绳？通常教法就是通过不同思路，列出不同的算式，从而形成关于“乘法分配律”的猜想。当学生质疑时，教师总是让学生多举出几个例子，从而对猜想进行验证。通过不完全归纳法建构“乘法分配律”的符号模型。这样的教学，总让学生产生一种“意犹未尽”的外在的感觉，总让学生感觉到教师教学有一种“拉郎配”的主观愿望。笔者在教学中，借“几何直观”引导学生深层建构。即引导学生先画出一个长方形，再画出一个等宽的长方形，从而形成一个更大的长方形。这个更大的长方形的面积既是两个长方形面积的和，也可以用两个长方形合并后的长乘宽，即大长方形的长乘宽。借助几何直观，学生深刻理解了乘法分配律，从而建构出乘法分配律的符号模型。这种借助长方形模型建构乘法分配律的符号模型的过程，具有一种内在的、演绎的性质，让学生心服、信服。

在数学教学中，教师不仅可以通过图形操作、图形变换助推学生的数学理解，更可以将数与形结合起来。“数形结合百般好，隔离分家万事休”。“形缺数时难入微，数缺形时少直观。”（华罗庚语）数形结合，将抽象与形象有机结合，充分运用图形的直觉功能，助推学生的数学理解。在“图导”走向“图构”的路途中，教师可以适当地发挥图形的引思功能，指导学生看图、读图、解图、创图、构图。通过图形直观，让学生的数学思维动态展现，从而发展和提升学生的数学思维，将学生的数学思维引向深入，不断发掘学生的创新潜质，提升学生的数学学习力，生成学生数学核心素养。

三、借“几何直观”深化思考

荷兰数学家弗赖登塔尔曾说过：“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念和方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”几何直观不仅能引导学生深度表征、深层建构，而且能深化学生数学思考。学生的几何直观能力不是一蹴而就形成的，而是需要一个逐步的、缓慢的、渐进的过程。正是在不断借助几何直观解决问题的过程中，学生积累了几何直观经验，领悟到几何直观解决问题的方法、思想，形成了运用几何直观解决问题的意识。

教学苏教版四下《解决问题的策略——“画图”》一课，学生遇到这样一个问题：一个长方形花圃，如果长增加了3米，面积就增加了18平方米;如果宽增加4米，面积就增加24平方米，原来长方形花圃的面积是多少平方米？对于这样的问题，仅仅让学生在头脑中进行思考，是难以解决问题的。为此，教师要指导学生画图，通过长方形图进行思考。如“花圃的长增加3米是什么意思？”“怎样求出花圃的宽？”在教学中，教师还可以出示一些变式性的问题，引导学生进行比较，从而增强学生解决问题的能力。比如，“一个长方形的花圃长增加3米、宽增加4米”与“一个长方形的花圃长增加3米，或者宽增加4米”，比如“一个长方形花圃长、宽分别增加4米”“一个长方形花圃长、宽都增加4米”“一个长方形花圃长、宽同时增加4米”，等等。通过对问题表述形式的改变，引导学生画图，从而助推学生深刻理解题意，深化学生运用几何直观图形进行表征、建构与思考。借助图形，学生能展开层层分析、推理，能感受、体验到直观示意图的意义和价值。

用“几何直观”助推学生的问题解决，会让学生产生一种“醍醐灌顶”的感觉，他们茅塞顿开、豁然开朗、恍然大悟。几何直观，让抽象的数学问题获得了直观化、形象化的诠释、理解。在运用几何直观深化学生思考的过程中，教师要激发学生直观推想力，引导学生进行分析、比较、联想，从而自主地探究，获得数学结论。

几何直观是一种方法，也是一种思想，更是学生数学素养的重要组成部分。几何直观是学生的一种意识、能力，更是学生的一种思维方式。运用“几何直观”进行数学表征、建构和思考，充分发挥几何直观的教学功能，是教师教学的应然选择。在小学数学教学中，围绕几何直观的操作、功能、应用等展开深度研討，有助于增强教师运用几何直观进行教学的自觉性。几何直观作为一种思想方法、作为学生数学核心素养的重要组成，应当贯穿于数学教学的始终。