体验一题“多味”的解题过程

■(指导教师：张丽君)

从小学到现在的高中，常听老师引用一个案例：猴子与人类有什么区别，区别就在于人类比较聪明并且有丰富的情感，例如，要摘下树上的桃子，人类就能够借助工具如棒子等把桃子敲打下来，而猴子只能自己爬上树摘下桃子。这个例子告诉我们，做任何事情都可以借助外围的力量或工具来解决面临的困难。爬树摘桃子是自然的方法，而采用工具摘桃子就是简便的方法。我们解决数学问题时难道不也是这个道理吗!

例题如图1，在等腰 △ABC中，AB=AC，D在线段AC上，且AD=kAC，k∈(0，1)，k为 常 数，BD为 定长m，则△ABC面积的最大值为____，此时AB的长为_____。

图1

总体分析：这些变化的三角形有两个约束条件，①AD=kAC，k∈(0，1)，k为常数；②BD为定长m。这两个约束条件与整个三角形的面积计算没有直接联系，这需要我们寻找已知的条件与面积计算所需要的因果联系。

一、“青涩”的自然解法

要寻找已知条件与面积计算所需要的参量联系，第一个自然而浅显地会想到如果设AB=t，就可以得出△ABD的三边，面积容易求出，即由，得sinA=，所以S△ABD=即当且仅当AB=t=时等号成立。

注：在刚刚学习了解三角形的知识后，我们一般会采用上面这样的解法。这种解法的产生是一种自然的、原始的，是没有什么深刻思考与加工的结果。可是，在化简sinA=的过程中，运算量大，对于我们这些高二年级的学生来说，一般是难以得出的。所以，方法自然固然好，可是它实在像青苹果那样太青涩了!不过，自然的方法还是好的，毕竟方法涌出早、构思时间短，计算量虽然大总还有解出答案的希望。

二、迂回的平面几何解法

如图2，作线段ED∥BC交AB于E点，得△EOD≌△BOC且得BO(定长)，当且仅当sin ∠BOC=1 时 等 号 成 立，S△ABC≤此时由面积公式算出△ABC底边的高为从而算出AB的长为

图2

注：这里计算量与前一方法比较，属于中度量，就是走的路有点迂回曲折，尤其计算AB长时需要一点工夫。

三、清楚简便的坐标系方法

图3

注：在三角形的平面上建立一个坐标系，就能把内在关系清晰地表达或揭示出来了，使得要计算的目标与条件挂钩更顺利，这就是使用坐标系这个工具的优势所在。

四、几点体验

读者可能要提出一个问题：怎样来选择方法使解法自然或更简便呢?依据笔者的经验，要简便解答数学难题，首先，多做数学难题，做多了，积累多了，好方法自然会出来，在做题的过程中才会体验辨别出简便的方法与麻烦的方法；其次，基础好的读者每一学年应该拥有一本数学的专题讲座资料，特别是特级教师编著的书，不是复习用书或地毯式练习类型的，是精选试题而多解的那一类，对这一本书要精读研磨，提高自己的解题水平；再次，在做难题的时候，审题要“站得高看得远”，对试题解决方向作一个大的分析与思考，脑子出现的第一种解题方法完成估计一下需要多少“路程”与计算量，还有没有第二种解题方法可以解吗?第二种解题方法又需要多少“路程”或计算量呢?做一个简短的比较，选择好方法。