你若探究 花自盛开——对一道高考解析几何题的探究

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在解完2018年全国Ⅰ卷理科数学第19题后，笔者得到了椭圆中的等角性质，并将其性质拓展推广到其他的圆锥曲线中，在追溯其命题背景之后，又发现了圆锥曲线中等角性质的更一般形式，现分析如下。

一、试题呈现

题目(2018年全国Ⅰ卷理科数学第19题)设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为 2，0( )。

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB。

评注：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的方程、直线与椭圆的位置关系、斜率、韦达定理、等角的证明等基础知识，考查学生的推理论证能力、运算求解能力，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想。立意深刻、内涵丰富，具有一定的典型性，极具探究价值。

二、试题解答

图1

三、拓展推广

1.在椭圆中的一般化推广

从上面的证法可知，对于一般的椭圆，只要M点为椭圆的右准线与x轴的交点，那么上述性质一定成立，即：

定理1：已知椭圆0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，则 有 ∠AMF=∠BMF。(证法同上面的证法一样)

在上述定理中，我们发现焦点F与定点M的横坐标之间存在一定的联系，即乘积等于定值a2，那么，若将F点换成一般的点P(m，0)，保证P，M两点的横坐标的乘积为定值a2，是否又有类似的性质呢?笔者借助GeoGebra软件进行探究，得出如下结论：

定理2：已知椭圆0)，P(m，0)(-a＜m＜a且m≠0)是椭圆C内一点，过P点的直线l与椭圆C交于A，B

证明：当设直线AB与x轴重合时，结论显然成立。

当设直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为x=ty+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将x=ty+m代入椭圆C的方程得(t2b2+a2)y2+2tmb2y+(m2-a2)b2=0，则，故，则有∠AMP=∠BMP。两点

从而得直线AM与直线BM的倾斜角互补，所以∠AMP=∠BMP。

定理3：已知椭圆0)，P(m，0)(m＞a或m＜-a)是椭圆C外一点，过P点的直线l与椭圆C交于A，B两点，则 有 ∠AMP=180°-∠BMP。(证明过程同定理2)

在定理3中，将直线l绕着P点旋转，当A，B重合时，∠AMP=∠BMP=90°，此时AM⊥x轴，直线l与椭圆C相切，于是我们进一步得出结论：

推论1：已知椭圆P(m，0)(m＞a或m＜-a)是椭圆外一点，过点作x轴的垂线，交椭圆C于A，B两点，则直线PA，PB与椭圆C相切。(如图2)

2.在双曲线、抛物线中的推广

图2

类比椭圆，在双曲线、抛物线中是否有类似的结论呢?笔者又借助于GeoGebra软件进行了探究，得出以下结论：

定理4：已知双曲线0，b＞0)，P(m，0)(m＞a或m＜-a)是双曲线C内一点，过P点的直线l与双曲线C交于A，B两点，若A，B位于双曲线的同一支，则有∠AMP=∠BMP；若A，B位于双曲线的不同支，则有∠AMP=180°-∠BMP。

定理5：已知双曲线0，b＞0)，P(m，0)(-a＜m＜a)是双曲线C外一点，过P点的直线l与双曲线C交于A，B两点若A，B位于双曲线的同一支，则有∠AMP=180°-∠BMP；若A，B位于双曲线的不同支，则有∠AMP=∠BMP。(定理4、定理5的证明与定理2的证明过程类似，此处从略)

推论2：已知双曲线0，b＞0)，P(m，0)(-a＜m＜a)是双曲线C外一点，过点且与x轴垂直的直l线与双曲线C交于A，B两点，则直线PA，PB与双曲线C相切。

定理6：已知抛物线C：y2=2px，P(m，0)(m＞0)是抛物线C内一点，过点P作直线l与抛物线C交于A，B两点，M(-m，0)，则∠AMP=∠BMP。

证明：设直线AB：x=ty+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将x=ty+m代入抛物线C的方程得y2-2pty-2pm=0，则y1+y2=2pt，y1y2=-2pm，所以从而直线MA，MB的倾斜角互补，所以∠AMP=∠BMP。

定理7：已知抛物线C：y2=2px，P(m，0)(m＜0)是抛物线C外一点，过点P作直线l与抛物线C交于A，B两点，M(-m，0)，则∠AMP=180°-∠BMP。

推论3：已知抛物线C：y2=2px，P(m，0)(m＜0)是抛物线C外一点，过点M(-m，0)与x轴垂直的直线l与抛物线C于A，B两点，则直线PA，PB与抛物线C相切。