对2019年高考全国Ⅱ卷21题(2)问的解法探析

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解析几何在高中数学中有十分重要的地位，无论是在高考题还是竞赛题中都有很大的比重，尤其是圆锥曲线题每年高考必考。其题型多，变化大，计算量大，区分度较高，导致很多学生在考试中失分较多。它充分考查了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养。笔者最近做完2019年全国Ⅱ卷理科的21题，发现该题无论是计算量还是思维量对学生都有很高的要求，相较于前几年的全国Ⅱ卷高考解析几何题难度有了很大的提高，所以对其第(2)问的解法进行了研究探析，以期开拓视野。

题目已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为记M的轨迹为曲线C。

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线。

(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G。(i)证明：△PQG是直角三角形；(ii)求△PQG面积的最大值。

解：(1)

(2)(i)方法1：设P(x1，y1)，G(x2，y2)， 则Q(-x1，-y1)，E(-x1，0)。设过PQ的直线方程为y=kx，则P(x1，kx1)，所 以，则过GE的直线方程为由消去y得故x2，-x1为方程的两根，则所以y2=所以G点的坐标为所 以kPG=即kPQ·kPG=-1，所以PQ⊥PG，则△PQG为直角三角形。

图1

评注：接近官方解答，通过设过原点的直线y=kx，将P，Q，G三点的坐标用关于k和x1的式子表示出来，这里笔者没有将x1也用k表示，因为会加大计算量，而x1最终会约掉。然后将PQ，PG的斜率用关于k的式子表示，利用斜率之积为-1可得出结论。此法符合学生思维，但是在计算坐标时容易出错。

方法2：设过Q(x1，y1)，G(x2，y2)的直线方程为y=kx+m，则P(-x1，-y1)。由直线与x轴的交点为E，所以，即联立消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0，由韦达定理知，

评注：此法是笔者第一次看到此题后最先想到的方法，因为在平时的复习备考中会遇到“过圆锥曲线上一已知点做两条互相垂直的直线与曲线交于两点，求这确定两点的直线过定点”的问题。所以很自然地想到设过Q，G的直线与椭圆联立，然后得出韦达定理。要证明垂直，可以利用向量找出关于x1，x2的表达式，进而将韦达定理代入得到关于k和m的关系式但是通分后发现其分子无法合并为0。这样又不得不再去想办法寻找关于k和m的关系，最终由代回椭圆方程，找到关系式m2+8m2k2-4k=0，这恰好就是目标式子的分子。此法计算量和思维量更大，考场上估计也有同学会使用这种方法，最终陷入了死胡同里而无法得分。所以，惯性思维有时会影响解题!

方法 3：设P(x1，y1)，G(x2，y2)，则Q(-x1，-y1)，E(-x1，0)，由P，G在椭圆上，则有两式相减可得，化简整理得，即又因为kGQ=kEQ=，所以，即得kPQkPG=-1，所以PQ⊥PG，则△PQG为直角三角形。

评注：此法在考场上应用为最佳，计算量和思维量都较前两种方法小，但是同学们可能不一定能想到，因为同学们受惯性思维的影响，大多会去设直线与曲线联立，利用韦达定理等常规操作。较少会想到利用我们熟知的“点差法”，设而不求，整体运算。同时三角形PQG有一条边过原点，也满足我们所熟知的“椭圆第三定义”，该定义在教材中以例题的形式呈现。可见，同学们在高三的备考复习中对教材的把握是很关键的，毕竟高考的命题源于教材而高于教材。

(ii)略。