聚焦函数零点的应用问题

■

如果函数y=f(x)在x=a处的函数值等于零，即f(a)=0，则称a为函数y=f(x)的零点，因此函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根。函数的零点把函数和方程紧密地联系在一起。函数的零点是函数的一个重要性质，在分析解题思路、探究解题方法中发挥着重要作用。

一、利用函数零点研究方程的根

由于函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根，所以在研究方程的有关问题(比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等)时，都可以将方程问题转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图像加以解决。

例1已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+2(a＜b)，若α，β(α＜β)是方程f(x)=0的两个根，则实数a，b，α，β之间的大小关系是( )。

A.α＜a＜b＜βB.a＜α＜β＜b

C.a＜α＜b＜βD.α＜a＜β＜b

解：若令g(x)=(x-a)(x-b)，显然函数g(x)的两个零点是a，b，函数f(x)的两个零点是α，β，而函数f(x)的图像是由函数g(x)的图像向上平移两个单位得到的，结合图像可知a＜α＜β＜b。故选B。

二、判断方程是否存在实根

例2判断方程x3-x2+1=0在区间[-1，0]内有没有实根，并说明理由。

解：设f(x)=x3-x2+1，则f(x)的图像是一条连续曲线。

f(-1)=(-1)3-(-1)2+1=-1＜0，f(0)=03-02+1=1＞0，故f(-1)·f(0)＜0。

所以f(x)在区间[-1，0]内有零点，即方程x3-x2+1=0在[-1，0]内有实根。

点评：要判断方程f(x)=0是否存在实根，若无法直接求出根可判断对应的连续函数y=f(x)的图像是否与x轴有交点，即只要看能否找到图像上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可。

三、求参数的取值范围

例3已知函数f(x)=2mx+4，若在[-2，1]上存在x0，使f(x0)=0，则实数m的取值范围是( )。

解：因为f(x)在[-2，1]上存在x0，使f(x0)=0，则f(-2)·f(1)≤0，所以(-4m+4)(2m+4)≤0，解得m≤-2或m≥1。故选B。

点评：一次函数具有性质：设在给定区间[a，b]上的一次函数y=f(x)，则：①f(x)恒大于零⇔f(a)＞0且f(b)＞0;②f(x)恒小于零⇔f(a)＜0且f(b)＜0;③f(x)恒正或恒负⇔f(a)·f(b)＞0;④f(x)有正有负⇔f(a)·f(b)＜0。

四、利用函数零点解不等式

我们知道，二次函数的图像是连续的，当它通过零点(不是二重零点)时，函数值变号，并且在任意两个相邻的变号零点之间函数值保持同号，根据二次函数变号零点的这一性质，可以求解二次不等式。

例4二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表1，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是_____。

表1

解：由表中数据可知函数的两个零点分别为-2和3，这两个零点将其余实数分为三个区间：(-∞，-2)，(-2，3)，(3，+∞)，在区间(-∞，-2)中取特殊值-3，由于f(-3)=6＞0，因此根据二次函数变号零点的性质可得：当x∈(-∞，-2)时，有f(x)＞0；当x∈(-2，3)时，有f(x)＜0；当x∈(3，+∞)时，有f(x)＞0，故不等式的解集为(-∞，-2)∪(3，+∞)。