浅谈圆锥曲线离心率范围问题的经典题型

■重庆市铁路中学校 何成宝

求圆锥曲线中的离心率范围问题是同学们在学习圆锥曲线时经常遇到的一类问题。面对此类问题,同学们往往束手无策,难以顺利解决,下面结合几道例题谈谈这类问题的求解策略,以供参考。

一、建立函数关系式求解

根据题设条件建立离心率和其他变量的函数关系式,然后利用函数求值域的方法求解离心率的范围。

例1已知椭圆=1(a＞b＞0)上一点A关于原点O的对称点为点B,F为椭圆的右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且,则椭圆离心率的取值范围是____。

点评：由已知条件建立关于a,c的一个方程,用参数α表示离心率e,从而建立了以α为变量的三角函数,然后求三角函数的值域,从而求出椭圆离心率的取值范围。

练习：已知直线l：kx-y-2k+1=0与椭圆=1(a＞b＞0)交于A、B两点,与圆C2：(x-2)2+(y-1)2=1交于C、D两点。若存在k∈[-2,-1],使得,则椭圆C1的离心率的取值范围是( )。

二、利用判别式求解

根据题中条件隐含着的一元二次方程有解,利用判别式建立不等式关系,来求离心率的取值范围。

例2设双曲线-y2=1(a＞0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B,求双曲线C的离心率e的取值范围。

解析：双曲线与直线相交于两个不同的点,故方程组有两个不同的实数解。

两式联立,消去y并整理得：

因此离心率e的取值范围为

点评：将圆锥曲线方程和直线方程联立,消去一个变量后得到一个关于另一个变量的方程,由已知可得此方程有两个不相等的实数根,利用二次方程根的判别式可得到变量的取值范围,再找出e与这个变量之间的关系即可求解。

练习：已知双曲线=1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,抛物线C：y2=8ax的焦点为F。若在双曲线E的渐近线上存在点P,使得,则双曲线E的离心率的取值范围是 ( )。

解析：由题意得,A(a,0),F(2a,0)。设,由,得=0-3ax0+2a2=0。因为在双曲线E的渐近线上存在点P,则Δ≥0,即9a2-4×。又E为双曲线,故,选B。

三、利用已知的不等关系求解

根据圆锥曲线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系,利用已知的不等关系,将问题转化为求解不等式。

例3椭圆=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1、F2,斜率为k的直线l过右焦点F2,且与椭圆交于A、B两点,与y轴交于M点。若,当|k|≤时,求椭圆的离心率的取值范围。

解析：设直线l的方程为y=k(x-c)。令x=0,得y=-ck,即点M的坐标为(0,-ck)。 因 为,所 以即B。因为点B在椭圆上,所以将点B的坐标代入椭圆方程整理得k2=4e2+-13。因为|k|≤,所以k2≤24,即-13≤24,整理得4e4-37e2+9≤0。

又0＜e＜1,解得≤e＜1。

点评：解决本题的关键是如何建立k与e之间的关系,然后再利用k的取值范围来解e的取值范围,同时还要注意椭圆离心率e的取值范围。

练习：双曲线=1(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和,求双曲线的离心率e的取值范围。

解析：已知条件中有一个不等关系s≥,只要用a、b、c表示出s,代入转化为关于e的不等式即可求解。

四、利用圆锥曲线的取值范围建立不等关系求解

例4设椭圆=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,如果椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°,求离心率e的取值范围。

点评：确定椭圆上点P(x,y)与a,b,c的等量关系,由椭圆中的取值范围,即|x|≤a,|y|≤b,建立不等关系。如果涉及曲线上的点到焦点的距离的有关问题,也可用曲线的焦半径公式求解。

练习：双曲线=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线上存在点P满足=-a2,则双曲线的离心率的取值范围为( )。

五、利用隐含的不等关系求解

例5已知双曲线=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为l,P是双曲线左支上一点,并且|PF1|是P点到l的距离d与|PF2|的等比中项,求离心率e的取值范围。

解析：解决此题需要用到题中的隐含条件,即根据已知P是双曲线左支上的一点,则P点到左、右焦点的距离之和大于或等于焦距,从而找到了关于e的不等关系即可求解。

由双曲线的第一定义知|PF2|-|PF1|=2a。 ①

点评：找出本题的不等关系是解题的关键。

圆锥曲线的定义中隐含的不等关系主要有：

(1)设点P为椭圆C上一点,则有|PF1|-|PF2|≤2c。

(2)设点P为双曲线C上一点,则有|PF1|+|PF2|≥2c。

练习：设F1(-c,0)、F2(c,0)分别是椭圆=1(a＞b＞0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是( )。

六、利用数形结合求解

根据方程表示曲线的几何特征,利用数形结合确定离心率的取值范围。

例6已知双曲线=1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,B、C都在双曲线的右支上,若△ABC 为正三角形,求双曲线的离心率e的取值范围。

解析：由图1 易知,B、C关于x轴对称,直线AB一定与双曲线的右支相交,必与渐近线在第一象限有交点。

图1

点评：将数用形来体现,直接得到a,b,c的不等关系,这恰好是解决数学问题较好的一种方法,也是重要的解题途径。

练习：椭圆=1(a＞b＞0)和圆x2+y2=(其中c为椭圆的半焦距 )有四个不同的交点, 求椭圆的离心率e的取值范围。

解析：要使椭圆和圆有四个不同的交点,只需要

小结：从以上几种求圆锥曲线的离心率的策略来看,我们要明确求离心率的取值范围主要有两条途径：一是建立离心率和一个变量的函数关系式；二是根据题设条件建立a,b,c的不等关系,然后利用椭圆与双曲线中a2,b2,c2的关系及离心率的限制范围,最终求出离心率的取值范围。