全国名校抛物线测试卷

■河南科技大学附属高级中学 刁新玉

一、选择题

1.抛物线y=4x2的焦点坐标是( )。

2.已知抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为( )。

A.x2=-28yB.y2=28x

C.y2=-28xD.x2=28y

3.已知抛物线的方程为标准方程,焦点在x轴上,其上一点P(-3,m)到焦点F的距离为5,则抛物线方程为( )。

A.y2=8xB.y2=-8x

C.y2=4xD.y2=-4x

4.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )。

A.y2=12xB.y2=-12x

C.x2=12yD.x2=-12y

5.抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2)在此抛物线上,M为线段PF的中点,则点M到该抛物线准线的距离为( )。

6.抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于( )。

7.已知抛物线y2=2px(p＞0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0 相切,则p的值为( )。

8.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则此动圆必过定点( )。

A.(4,0) B.(2,0)

C.(0,2) D.(0,-2)

9.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=8,那么|AB|等于( )。

A.10 B.8 C.6 D.4

10.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若=-4,则点A的坐标为( )。

11.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P是抛物线上的一动点,则|PA|+|PF| 取得最小值时,点P的坐标是( )。

A.(0,0) B.(1,1)

12.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦AB的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则关系式的值一定等于( )。

A.4 B.-4 C.p2D.-p

13.抛物线y2=2px(p＞0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是它的焦点,若|AF|,|BF|,|CF| 成等差数列,则( )。

A.x1,x2,x3成等差数列

B.x1,x3,x2成等差数列

C.y1,y2,y3成等差数列

D.y1,y3,y2成等差数列

14.已知P为抛物线y2=4x上的任意一点,记点P到y轴的距离为d,对于给定点A(4,5),则|PA|+d的最小值为( )。

15.已知抛物线y2=2px(p＞0),过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )。

A.x=1 B.x=-1

C.x=2 D.x=-2

16.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,点A(1,a)(a＞0)在抛物线C上,|AF|=3,若直线AF与抛物线C交于另一点B,则|AB|的值是( )。

A.12 B.10 C.9 D.4.5

17.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( )。

18.过抛物线y=ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p,q,则=( )。

A.2aB.C.4aD.

19.若AB为抛物线y2=2px(p＞0)的动弦,且|AB|=a(a＞2p),则AB的中点M到y轴的最近距离是( )。

20.已知点A(0,2),抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若,则p的值等于( )。

21.过抛物线C：y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交抛物线C于点M(M在x轴上方),l为抛物线C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )。

22.已知抛物线y2=的焦点为F,A、B为抛物线上两点,若,O为坐标原点,则△AOB的面积为( )。

二、填空题

23.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为,则焦点到AB的距离为____。

24.直线x-y-1=0截抛物线y2=8x,所截得的弦中点的坐标是____。

25.已知点P在抛物线y2=2x上运动,点Q与点P关于(1,1)对称,则点Q的轨迹方程是____。

26.抛物线x2=2py(p＞0)的焦点为F,其准线与双曲线相交于A、B两点,若△ABF为等边三角形,则p=____。

27.已知直线l1：4x-3y+12=0和直线l2：x=-1,则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2距离之和的最小值是____。

28.设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,则等于_____。

29.已知直线l：y=2x+b被抛物线C：y2=2px(p＞0)截得的弦长为5,直线l经过抛物线C的焦点,M为抛物线C上的一个动点,设点N的坐标为(3,0),则|MN|的最小值为____。

30.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的最小值是____。

三、解答题

31.求适合下列条件的抛物线的标准方程：

(1)过抛物线y2=2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点,且|AB|=6；

(2)抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点P(-5,2)到焦点的距离是6。

32.若抛物线y2=2px(p＞0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,求M点的横坐标及抛物线方程。

33.已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|的值。

34.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点,若线段AB中点的横坐标等于2,求弦AB的长。

35.设抛物线y2=8x的焦点是F,有倾斜角为45°的弦AB,|AB|=,求△FAB的面积。

36.已知点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小2,若记点P的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且OA⊥OB,求证：直线l过定点,并求出该定点的坐标。

37.过点E(-1,0)的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点,F是C的焦点。

(1)若线段AB中点的横坐标为3,求|AF|+|BF|的值；

(2)求|AF|·|BF|的取值范围。

38.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F,且过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M、N两点,|MN|=8。

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求的最小值。

39.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点。

(1)求证OA⊥OB；

(2)当△AOB的面积等于时, 求k的值。

40.设抛物线C：y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M、N两点。

(1)当直线l与x轴垂直时,求直线BM的方程；

(2)证明：∠ABM=∠ABN。

41.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与抛物线C的交点为A、B,与x轴交于点P。

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程；

42.设A、B为抛物线C：y=上两点,A与B的横坐标之和为4。

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为抛物线C上一点,抛物线C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程。

43.抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A、B两点。

(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值。