浅谈圆锥曲线中最值问题的解题策略

■河南省许昌市建安区第一高级中学 田吉龙

在圆锥曲线中常常涉及与动点、动直线、动弦、动角以及轨迹等有关的最值问题,这些最值问题覆盖面广、解题灵活,在近几年的高考题中此类问题经常出现。下面举例介绍两种常见的解题策略,以供参考。

一、转化为平面几何知识求最值问题

例1已知x,y满足,求z=y-3x的最值。

解析：将所给的函数式改写为y=3x+z,则它表示斜率为3 的平行直线系方程,z是直线在y轴上的截距。由图1易知：在区域内,z的最大、最小值在直线与椭圆相切时取得。

图1

将y=3x+z代入,得 169x2+96zx+16z2-400=0。由Δ=0,得z=±13,故z的最大值为13,最小值为-13。

点评：若题目中的条件和结论有明显的几何特征和意义,可借用平面几何知识解决问题,大大简化计算过程。

练习：设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的两点,则P,Q两点间的最大距离是( )。

解析：圆x2+(y-6)2=2 的圆心为(0,6),半径为。

设椭圆上的点为Q(x,y),点Q(x,y)到圆心(0,6)的距离为：

所以P,Q两点间的最大距离是,选D。

二、利用均值不等式求最值问题

例2(2017 年全国Ⅰ卷理科数学第10题)已知F为抛物线C：y2=4x的焦点,过F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )。

A.16 B.14 C.12 D.10

解析：因为抛物线C的方程为y2=4x,所以焦点为F(1,0)。

设直线l1的方程为y=k(x-1),直线l2的方程为。

图2

将直线l1与抛物线方程联立消去y得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0。设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得,所以|AB|=x1+x2+2=+4。

同理|DE|=4k2+4。所以|AB|+|DE|=+8≥8+8=16,当且仅当,即k=±1 时等号成立,其最小值为16,故选A。

点评：有些求最值问题,可以先把要求的最值用参变量来表示,然后用基本不等式来解决,这时往往需要创造条件,巧妙地进行构思。基本不等式是解最值问题的一种有效方法,但要注意验证等号是否成立。

练习：双曲线与双曲线-=1的离心率分别为e1和e2,且a＞0,b＞0,当a,b变化时,求的最小值。

解析：≥2+=4,当且仅当a=b时等号成立,所以的最小值为4。

小结：与圆锥曲线有关的最值问题,大都是综合性问题,解法灵活,技巧性强,同学们只要能将上面介绍的这些策略掌握并加以灵活运用,就可以轻松解决这类问题。