一类二阶中立型广义Emder-Fowler阻尼方程的振动准则
2019-11-28林文贤
林 文 贤
(韩山师范学院 数学与统计学院,广东 潮州 521041)
考虑一类具阻尼项的二阶中立型广义Emder-Fowler方程:
(1)
假设以下条件成立：
(H1)τ(t)>0,r′(t)≥0,0≤p(t)≤1;
Emder-Fowler方程在核物理、天体物理以及气体动力学等领域应用广泛[1],而中立型泛函微分方程在高速计算机无损传输线路的网络设计、自动控制理论和神经动力系统理论等领域应用广泛[2].目前,关于方程(1)振动性的研究得到广泛关注[3-10],但大多数工作都是针对其某些特例,如文献[3]研究的方程即为方程(1)当α=β,m(t)=0时的特例.本文通过建立对任意α>0,β>0成立的广义Riccati不等式,给出方程(1)的若干振动准则,所得结果改进并推广了文献[3-6]的相应结果.若无特殊说明,本文中的函数不等式对一切充分大的t均成立.
引理1设方程(1)在[t0,∞)上有非振动解x(t),则y(t)y′(t)>0,t≥T0≥t0.
证明: 设x(t)是方程(1)的非振动解,不妨设x(t)>0,故存在t1≥t0,使得当t>t1时,有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0(当x(t)<0时,证明类似,因为变换x(t)=-u(t)可将方程(1)变为同一形式).由q(t)>0,有
于是
(2)
因而
(3)
将式(3)从t2到t积分得
引理2设方程(1)在[t0,∞)上有非振动解x(t),则存在T0≥t0,使得
(4)
其中
Q(t)=q(t)[1-p(σ(t))]β.
(5)
证明: 设x(t)是方程(1)的非振动解,不妨设x(t)>0,故存在t1≥t0,使得当t>t1时有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0(当x(t)<0时,可类似证明).则由引理1和假设条件(H1),(H2),有
y(t)>0,y′(t)>0, (r(t)(y′(t))α)′<0,t≥t1.
(6)
由τ(t)
x(t)=y(t)-p(t)x(τ(t))≥y(t)-p(t)y(τ(t))≥[1-p(t)]y(t),t≥t1,
则存在t2≥t1,使得当t≥t2时,有
x(σ(t))≥[1-p(σ(t))]y(σ(t)).
(7)
联合假设条件(H3)、式(6)和式(7),由方程(1)可得式(4).证毕.
引理3设x(t)是方程(1)的非振动解,做Riccati变换
(8)
则w(t)>0,且存在T≥t0,使得对任意正常数θ,均有
(9)
其中Q(t)由式(5)定义,且
λ=min{α,β},
特别地,当α=β时,任意常数θ=1.
证明: 设x(t)是方程(1)的非振动解,不失一般性,存在t1≥t0,使得当t>t1时,有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0,由引理1知式(6)成立.由式(8)有
(10)
注意到r(t)(y′(t))α是减函数,有
(11)
1) 当β≥α时,由y(t)>0,y′(t)>0知,存在常数θα>0,T1≥T0,使得
y(β-α)/α[σ(t)]≥θα,t≥T1.
(12)
利用式(7),(11),(12),由式(10)得
(13)
2) 当α>β时,有
(14)
(15)
利用式(4),(15),由式(10)得
(16)
式(13),(16)表明不等式(9)成立.证毕.
定理1若存在函数ρ(t)∈C1([t0,∞),(0,∞)),对任意正常数θ,有
(17)
则方程(1)是振动的,其中当α=β时,θ=1.
证明: 设方程(1)存在非振动解x(t).令
(18)
则v(t)>0.类似于引理3的证明,得
(19)
利用不等式
(20)
由式(19)可得
(21)
对式(21)积分,得
(22)
显然,式(22)与式(17)矛盾.证毕.
下面给出方程(1)的Philos型振动准则.考虑集合
D0={(t,s)|t>s≥t0}
和
D={(t,s)|t≥s≥t0},
如果函数H∈C(D,R),存在h∈C(D0,R),ρ(t)∈C1([t0,∞),(0,∞)),使得:
1)H(t,t)=0,t≥t0,H(t,s)>0,(t,s)∈D0;
2)H(t,s)对第二个变量有连续非正的偏导数,且满足等式
则称函数H∈P.
定理2假设存在函数H,h和ρ(t)使得H∈P,且对任意正常数θ及充分大的T≥t0,有
(23)
其中当α=β时,θ=1.则方程(1)是振动的.
证明：设x(t)是方程(1)的非振动解,定义v(t)如式(18),利用定理1知式(19)成立.将式(19)的t换为s并将两边同乘以H(t,s),再关于s积分,得
利用不等式(20),可得
因此,有
(24)
式(24)与式(23)矛盾.证毕.
例1考虑广义Emder-Fowler阻尼方程:
(25)
由定理2可知方程(25)振动.
