乘性噪声环境和非理想二值信道下的1比特鲁棒参数估计*

李子愚,刘兆霆,姚英彪

(杭州电子科技大学通信工程学院,杭州 310000)

无线传感器网络[1-4](Wireless Sensor Networks,WSNs)通常是由大量分布在一定空间范围内微型的、集成的和低功耗的无线传感器节点组成,具有感知网络周围的环境信息,并进行采集、传输和处理等能力。随着WSNs理论和技术的快速发展,其在军事国防、工农业控制、医疗健康监控[2-4]等领域具有广阔的应用前景。

在传感器网络参数估计[5-8]问题中,局部传感器节点发送数据到融合中心(Fusion Center,FC),FC根据接收到的数据对未知参数进行估计。一般情况下,考虑到网络使用成本等因素,构成WSNs的无线传感器节点的能量存储[4,9]、计算和通信能力[10-12]都极为有限。节点的能量耗尽,往往意味着该节点生命的终结,导致网络拓扑改变和网络功能的下降。在实际情况中,将各个节点的采样信号直接传输到FC将导致较多的能量消耗和较大的网络通信负载。若将每个传感器节点的采样信号压缩为1比特[11,13-14]信息值后再传输,则可以在很大程度上降低能量消耗和减轻通信负载。因此,目前国内外基于WSNs 1比特信息值的信号检测和参数估计问题得到了较大的关注。例如,Ribeiro考虑了在不同的噪声观测模型下,基于极大似然估计方法研究了最优分布量化估计问题[11-12],并发现其量化极大似然估计器与未量化最优估计器的均方误差只相差常数倍。Chen研究了局部传感器节点在1比特量化方案相同的情况下的分布式估计问题[13],在估计信号范围已知的条件下,获得了系统性能的约束条件。Fang采用了非规则量化器结构并提出了1比特自适应估计算法[14],与固定量化阈值方法相比其估计性能有了明显的提升。文献[15]中,作者提出了一种基于1比特量化信息值的自适应递归最小二乘参数估计算法,该算法能够获得与基于未量化信息值的经典递归最小二乘算法相近的估计精度。

虽然上述方法都有各自的优点,但通常都只是考虑加性噪声,很少有考虑乘性噪声[16-18]的情况。而事实上乘性噪声在实际当中是经常出现的(如多径信道)。文献[16]中虽然提出了一种基于乘性高斯噪声环境下1比特量化参数估计算法,但当量化阈值偏离最优阈值时,可能会出现不好的估计结果。并且,上述算法假定传感器节点与融合中心之间的二值信道是理想的;但实际上,传感器节点与融合中心之间的二值信道[19-21]同样容易受到随机噪声干扰,导致某些比特值出现反向,例如,某节点发送 +1,融合中心错误地收到并误认为是-1。

值得注意的是,在乘性噪声环境下,基于非理想二值信道的1比特量化信息值的参数估计算法很少有报道。针对此问题,本文结合文献[16,20],首先针对理想二值信道,提出了一种基于期望最大(Expectation Maximization,EM)的参数估计算法,然后进一步地针对非理想二值信道,提出了一种基于EM的1比特鲁棒(One-Bit Robust Expectation Maximization,OBR-EM)参数估计算法。同时分析了参数估计的克拉美罗下界(Cramér-Rao Lower Bound,CRLB),通过一系列仿真实验,验证了所提算法的有效性。

图1 基于二值信道下传感器网络1比特量化信息值参数估计模型

1 信号模型

考虑一个WSNs,如图1所示。该网络是由K个独立的无线传感器节点构成的,每个节点能够与一个共同的FC进行通信和数据传输,以实现对未知参数θ的估计。正如前面所述,为了降低节点的能量消耗和网络通信负载,每个传感器节点不是直接把采样信号值xk传输给FC,而是发送该采样信号的1比特信息值yk。

假设每个节点k获得的原始采样信号值xk可表示为

xk=hkθ+vk,k=1,2,…,K

(1)

xk=(1+ek)θ+vk

(2)

xk=θ+zk

(3)

为了获得1比特信息值yk,让传感器节点在获得采样信号值xk后,将其与一门限值τ进行比较,从而产生

(4)

(5)

式中:εk∈{1,-1}表示二值干扰噪声,并且εk=-1(存在干扰)的差错概率假设为μ,即p(εk=-1)=μ。

2 基于EM算法的量化估计

2.1 基于采样信号的MLE算法

(6)

(7)

2.2 基于1比特量化信息值理想二值信道)的EM算法

(8)

(9)

(10)

引理1给定一个具有标准正态分布的随机变量v和一个常数a,v和v2的条件期望满足:

类似地,若yk=-1,那么xk<τ,等价于zk/δz<(τ-θ)/δz。因此结合引理可以得到

(11)

(12)

因此,根据定义,可以获得

(13)

2.3 基于1比特量化信息值非理想二值信道)的鲁棒EM算法

2.3.1 算法推导

(14)

从而类似于式(9)可以得到

(15)

(16)

类似地,可以得到

(17)

将式(11)、(12)和(17)代入到式(16),可以得到

令

(18)

(19)

2.3.2 克拉美罗下界

(20)

p(εk=1;θ)p(yk=1;θ)+p(εk=-1;θ)p(yk=-1;θ)=

(1-μ)p(yk=1;θ)+μp(yk=-1;θ)=

(1-μ)p(yk=1;θ)+μ(1-p(yk=1;θ))=

μ+(1-2μ)p(yk=1;θ)

(21)

由此,对应的log似然函数有

(22)

对式(22)中θ取二阶偏导数,可以得到

(23)

(24)

式中

3 性能仿真分析

如图2所示,描述了在不同的二值信道差错概率下,克拉美罗下界与信道容量C之间的关系,其中信道容量定义为C=1-H(μ,1-μ)。可以很明显的看到,CRLB与信道容量关于差错概率是对称的,当二值信道差错概率μ在0.4与0.6之间变化时,其对应的CRLB较大,而信道容量较小;当μ=0或μ=1时,该二值信道均可视为理想二值信道,此时信道容量达到最大,而CRLB达到最小。

θ0=1,τ图2 克拉美罗下界与信道容量的关系

图3 乘性噪声和加性噪声对克拉美罗下界的影响

图3所示的是加性噪声方差和乘性噪声方差对克拉美罗下界的影响。从图中可以看出,当增大加性噪声方差或乘性噪声方差时,对应的CRLB均增大;同时,如果固定噪声方差,增大差错概率,对应的CRLB也会增大。这也与实际相符合,当传感器所处的环境较为恶劣时,是不利于估计的。并且,如果当噪声方差小于0.5时,CRLB在乘性噪声方差变化下对信道差错概率更为敏感。

下面进一步研究信道差错概率与噪声对估计性能的影响,使用均方差来衡量估计性能,以下实验均是通过1 500次独立实验平均得到。

图4 传感器数量和差错概率对估计性能的影响

图6 传感器数量和乘性噪声对估计性能的影响

图5 传感器数量和加性噪声对估计性能的影响

4 总结

本文充分考虑了乘性噪声环境与传感器节点和FC之间的二值信道对参数估计的影响,首先针对理想二值信道,提出了一种基于期望最大(EM)的参数估计算法,然后进一步针对非理想二值信道,提出了一种OBR-EM算法。为了验证算法的估计性能,分析了对应的CRLB。通过实验仿真结果表明,CRLB和信道容量都是差错概率的函数。当传感器数量K增加时,所提出的OBR-EM算法估计性能可以单调地趋向于其对应的CRLB,从而说明估计值的可靠性。另外结果也说明了,在理想信道下,当量化阈值偏离最优阈值时,所提出的OBR-EM算法具有明显的鲁棒性。