聚焦《不等式选讲》中的经典问题

■山东省乳山市第一中学 高艳山

不等式选讲是高考的选考内容之一，主要考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法，以及不等式证明的基本方法(比较法、分析法、综合法和放缩法等)。一定要注意分类讨论思想和绝对值不等式性质的应用。

聚焦1——绝对值不等式求解中的“零点分类法和公式法”

例1 (2 0 1 8年安徽马鞍山二模)已知函数f(x)=|x—a|—2x，g(x)=|x—2|—|x+1|。

(1)当a=1时，求不等式f(x)＜2的解集；

(2)当x∈[0，1]时，总有f(x)≤g(x)，求a的取值范围。

解析：(1)当a=1时，不等式为|x—1|—2x＜2，去掉绝对值得或

(2)f(x)≤g(x)⇒|x—a|—2x≤2—x—x—1⇒|x—a|≤1⇒a—1≤x≤a+1。

由已知条件x∈[0，1]可得

所以a的取值范围是[0，1]。

反思：绝对值不等式的求解思维方法：①利用“零点分段法”求解。先令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根，并将这些根按从小到大的排序把实数集分成若干个区间，由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集，取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集。体现了分类讨论的思想。②利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|a x+b|≤c；|a x+b|≥c；|x—a|+|x—b|≥c。体现了数形结合的思想。③通过构造函数，利用函数的图像求解。体现了函数与方程的思想。

聚焦2——绝对值不等式中的“三角不等式”的沟通作用

例2 (四川省遂宁市2 0 1 8届高三三诊)已知函数f(x)=|x—m|—|x—2|。

(1)若函数f(x)的值域为[—4，4]，求实数m的值；

(2)若不等式f(x)≥|x—4|的解集为M，且[2，4]⊆M，求实数m的取值范围。

解析：(1)由三角不等式的性质得||x—m|—|x—2||≤|x—m—x+2|=|m—2|，因为函数f(x)的值域为[—4，4]，所以|m—2|=4，即m—2=—4或m—2=4，所以实数m=—2或6。

(2)由f(x)≥|x—4|得|x—m|—|x—2|≥|x—4|。

当2≤x≤4时，|x—m|≥|x—4|+|x—2|⇒|x—m|≥—x+4+x—2=2，即|x—m|≥2，解得x≤m—2或x≥m+2，即解集M为(—∞，m—2]∪[m+2，+∞)。

由条件[2，4]⊆M知m+2≤2⇒m≤0，或m—2≥4⇒m≥6。

所以m的取值范围是(—∞，0]∪[6，+∞)。

反思：绝对值不等式||a|—|b||≤|a+b|≤|a|+|b|简称为“三角不等式”，利用它可以简化求最值，应注意取等号的条件：①|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a b≥0时等号成立。②||a|—|b||≤|a+b|，当且仅当a b≤0时等号成立；③|a—b|+|b—c|≥|a—c|，此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中，当且仅当(a—b)(b—c)≥0时等号成立。