坐标系与参数方程应用中的“三类误区”

■江苏省泰兴市第一高级中学 张 震

在极坐标方程与参数方程的应用中，由于“忽略互化的条件、混淆参数方程中参数的几何意义和借助极径探究最值缺少极角取值范围的限制”，有些同学常常出现下列思维误区：

误区1——参数方程与普通方程的互化中忽略“等价变形”

例1 在直角坐标系x O y中，曲线M的参数方程为x=sinθ+c o sθ，(θ为参数)，｛y=s i n2θ若以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离。

错解：由曲线M的参数方程(θ为参数)，消参得1+y=x2，即y=x2—1。不妨设曲线M上一点为P(x0—1)，由曲线N的极坐标方程得曲线N的直角坐标方程为x+y+2=0，则点P到曲线N的距离，所以当时

剖析：错解中y=x2—1非曲线M的参数方程的等价变形，应考虑到x=sinθ+，故x∈［ —］，所以曲线M的直角坐标方程为y=x2—1，x∈［—，］，于是曲线M上一点P(x0—1)，其中x0∈ ［—，］，则点P到曲线N的距离，所以当时，

又易知曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离等于曲线M上的点与曲线N的距离的最小值，故所求最小距离为

警示：参数方程化普通方程，既要消参得到横、纵坐标所满足的关系式，又要探究横、纵坐标对参数的值域，这个值域和横、纵坐标所满足的关系式才与原参数方程等价。本题中x∈[—，]，y∈[—1，1]和函数关系y=x2—1可省略隐含条件y∈[—1，1]，这里有一个重要的技巧：消参后若得到是非闭合曲线(如抛物线、双曲线)，务必要注意考察x的取值范围。同学们在遇到椭圆或圆的最值问题时往往能够考虑到将普通方程化为参数方程，再运用三角函数求最值，而本题却是抛物线的最值问题，那该怎么办呢?本题给了我们一个重要经验：与抛物线上的点相关的最值问题往往可转化为二次函数进行求解。

误区2——椭圆参数方程中对角参数的含义理解不清

例2 设M为椭圆(α为参数)上一点，O为坐标原点，且∠x OM=，求点M的坐标。

错解：将∠x OM=代入椭圆的方程，得=3，所以点M(2，3)。

剖析：错解中把点M与原点连线的倾斜角误认为是过该点的椭圆参数中所对应的角参数α，这是错误的，这个角是离心角，现阶段的教材不研究其几何意义。借助点M与原点连线的倾斜角和三角知识分类沟通关系求解。

设点M(4 c o sα，2sinα)。

(1)当点M在第一象限时，有kOM=，所以t a nα=2，从而c o sα=，sinα=，所以点(2)当点M在第四象限时，有kOM=，所以t a nα=—2，从而c o sα=，sinα=—，所以点

警示：把握所求角为交点与原点连线的倾斜角，运用点的坐标之间的关系确定倾斜角的正切值，依据倾斜角的意义和范围合理分类求解，避免了椭圆参数中角参数几何意义的理解，这符合课标和教材的要求。

误区3——借助极径探究线段长的最值时忽略极角的范围

例3 在直角坐标系x O y中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(为参数)，在t以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m：θ=β(ρ＞0)，设点A是m与C的一个交点(异于原点)，点B是m与l的交点，求的最大值。

错解：(为参数)，平方消α参得C的普通方程为(x—1)2+y2=1，由可得(ρc o sθ—1)2+(ρsinθ)2=1，化简得C的极坐标方程为ρ=2 c o sθ。直线的普通方程为x+y—4=0，其极坐标方程为ρc o sθ+ρsinθ—4=0，所 以

设A(ρ1，β)，B(ρ2，β)，则，故其最大值为

剖析：错解凸显了借助极坐标系中极径探究线段长度的最值的思维方法，凑巧求得其最值，但忽略了射线与圆相交的条件，即忽略了极角的取值范围。应补充：由射线m与C相交，则不妨设，则而，所以当，即时，取最大值，此时的最大值为

警示：在极坐标系中，以O为起点的线段均可写成ρ的形式，这正是极径ρ的几何意义，极坐标方程实质是极径关于极角的函数表达式，于是求解线段长的最值问题，常选用极坐标方程，此时应特别注意相交的条件即极角范围的探究。始终注意一个原则，函数的问题，定义域优先。