数学建模，让课堂学习更智慧

赵锦

【摘 要】数学建模是数学学习的核心，是学生增长数学智慧、提升数学学习能力的重要场所，在实际教学中，教师要放手让学生去充分经历，完成数学抽象、丰富和拓展数学模型，并在比较和反思中建构稳固的数学模型。

【关键词】数学建模;智慧;抽象;反思

数学是一门着力于培养学生思维能力的学科，在数学学习中，学生需要从错综复杂的现象中抽象出数学知识，在面对新的问题时想方设法去解决它们，建构出稳固而丰富的数学模型，并在学习过程中累积学习经验，这样才能达成学生知识和智慧的双增长。在实际教学中，我们要推动学生的数学建模，具体可以从以下几方面做起：

一、经历抽象，探索模型框架

着重于领悟的数学学科需要让学生自己面对生活现象，抽象出数学规律来，这样在学习过程中学生就不止于接受和模仿，而是能够用经历支撑数学与模型。因此，在实际教学中，我们可以创设一些有现实意义的情境，让学生从中发现问题、摸索规律，并逐步形成模型框架，从而为他们之后的数学学习奠定基础。

例如，在“周期排列的规律”教学中，我从一个摆棋子的游戏开始，首先，在黑板上摆出一个白子，然后再摆出一个黑子，再摆一个白子和一个黑子，反复三组之后，我让学生猜一猜：下面老师会摆一个什么颜色的棋子，很多学生认定教师会摆白子，理由是前面三组都是一个白子和一个黑子间隔排列，在学生说出白子和黑子间隔排列的规律后，我提出了新问题：照这样的规律排列，第17个棋子是什么颜色的？学生想到了多种不同的方法来解决这个问题，有的用列举法，有的根据单双数判断，还有的用除法计算，在学生交流了每种方法的算理之后，我请学生自己尝试用黑子和白子摆出一个类似的、有规律的排列，然后算出第17个棋子的颜色，学生创造了很多不同的周期，有的用两个白子间一个黑子三个为一组，有的以两个黑子和一个白子为一组，还有的在每组中安排了更多棋子，在交流过程中学生发现，只要是符合这样的周期规律排列的问题，都可以用除法计算，这样的发现让学生掌握了一类问题的解决方法，构建了稳固的数学模型。

在这个教学案例中，学生经历了猜想、思考和尝试，逐步发现周期现象的本质是每组棋子的排列顺序都相同，因此，可以几个棋子为一组，通过除法计算看余数的方法计算棋子的颜色，再由棋子发散到其他的周期现象，学生的数学模型就搭建出来了。

二、经历整合，搭就数学模型

数学建模是学生数学学习中不可或缺的环节，也是推动学生学习走向深入的关键，在实际教学中，如果我们能推动学生自己的思考和整合，让学生自己去发现、挖掘，并在整合资源过程中促成模型的表象化，那么，这样的数学模型必然有效，也可以让学生印象深刻。

例如，在“24时记时法”的教学中，我首先利用矛盾情境勾起了学生的交流，在很多学生的知识储备中，他们知道一天有24小时，而时钟转动一圈的时间是12小时，所以在24小时内，时钟会转动两圈，钟面上的每个时刻都会在一天中重复出现两次，那么如何避免情境中的矛盾呢？学生很自然地想到，以时钟转动一圈为界限，将两圈的时间区分开来，具体的办法是在时刻之前加上上午和下午两个限定词语。在学生成功解决了这个问题的基础上，我再引导学生：能不能将一天的24小时全部记录下来呢？学生在这个思路的指引下，自己编制了24时制的钟面，并在1至24的旁边对应上普通计时法中的具体时刻，达到了一目了然的效果，在此基础上，我还引导学生在时间轴上用两种不同的计时法将一天的24小时全部记录下来，学生在顺利完成作品之后进行观察和比较，并发现了将24时记时法下的时刻，转化为普通记时法下时刻和将普通计时法下时刻转化成24时记时法下时刻的方法，完成了两者间的桥接。

在这个教学案例中，学生由矛盾出发，寻找将24小时全部表示出来的方法，并与之前生活中常见的普通记时法进行了勾连，在他们编制24时时钟和完成时间轴的对应过程中，学生对新的记时法有了整体的认识，并能够将新的记时法与之前熟悉的记时法联系起来，这样的数学模型更加稳固，在应用模型解决相关的实际问题时，学生会发现越来越多的规律，将模型构建得更加完善。

三、经历比较，丰富数学模型

数学模型的构建不是简单的模仿和归类，学生需要在充分经历的基础上不断思考、尝试和总结，这样才能构建有效的数学模型，在模型的主体打好的基础上，教师要提供类似的知识点让学生辨析、比较，让学生找到一类模型中的本质属性，帮助他们丰富数学模型、拓展数学模型。

例如，在“按比例分配”的教学中，我从足球表面的正五边形和正六边形的数量出发，提供给学生这样一个问题：一个足球表面有32块皮，其中正五边形和正六边形的数量比为3：5，那么，足球表面正五边形和正六边形的数量各是多少？学生在分析这个问题时，结合比的含义，认定32应该被平均分成8份，其中3份是正五边形，5份是正六边形，所以学生用32÷（3+5）来解决问题，还有的学生将这个比进一步“加工”，找到正五边形和正六边形占总数的几分之几，直接用分数乘法计算。在肯定了学生的想法和做法之后，我提供了教材中的“试一试”让学生巩固练习，帮助他们搭建了初步的数学模型，在之后的教学中，我将问题做了一些改编：一个等腰三角形的两个内角的比为2：5，那么这个等腰三角形的顶角是多少度？学生在读题分析之后发现，等腰三角形的内角和应该是180°，这是三个内角的和，而题目中只知道其中两个内角的比，所以首先要确定第三个角的份数，在画图分析之后学生发现，等腰三角形的底角可能是2份，也可能是5份，所以三个内角的比既可能是2：5：5，也可能是2：2：5，而分配的方法与之前类似。

类似的问题出现后，学生会将这些问题与之前建构数学模型的问题比较，从中发现异同，提炼出本质的东西，这样可使学生的数学建模更充分，在实际教学中，我们需要这样的对比和提炼，需要让学生自己去经历更多，从而拓展数学模型。

四、经历反思，完善认知模型

在数学建模过程中，学生需要把握住模型的核心，这样学生在遇到类似的问题时，可以调用数学模型中的核心分析、处理问题，在数学建模的过程中思考是重要的元素，包括反思，通过反思模型的搭建过程，学生可能会有更多发现，使模型更精准。

例如，在“认识公顷”的教学过程中，教师在引导学生认识了公顷的定义，并通过多种形式进一步建构公顷的数学模型后，引导学生反思本课的学习，提出自己的疑问，有的学生就面积单位的进率提出了问题，学生认为之前三个学过的面积单位之间的进率都是100，而公顷与平方米之间的进率是10000，是不是中间缺少了一个面积单位，在学生提出问题之后，教师引导大家通过画图的方法再现了之前的三个面积单位，学生发现每个正方形的边长相差10倍，而公顷的大小是边长为100米的正方形的大小，其边长与平方米的边长相差100倍，如果中间出现一个边长为10米的正方形的面积单位，这个数学模型就比较完整，到底有没有这样一个面积单位呢？教师组织学生交流时，一些学生认为没有，因为教材中没有，一些学生则认为有，他们还为这个面积单位取名“平方十米”，最终教师出示了一个补充学习资料，带领学生认识了“公亩”，将他们的数学模型填充完整。

总之，数学建模是数学学习中的重要一环，在实际教学中，教师要关注学生的消化吸收过程，驱动学生多元地学习，包括观察、思考、比较等，从而帮助学生建构出稳固、多元的数学模型来，同时让学生在数学建模中增长智慧、提升数学学习能力，让他们的数学学习走向高效。

【参考文献】

[1]何建童.小学数学的“数学建模”教学策略[J].数学学习与研究，2019（11）：114

[2]刘敬宇.小议数学建模的应用[J].数学学习与研究，2019（11）：22

[3]刘绿芹.“数学建模”素养的形成與提升策略探析[J].数学教学通讯，2019（15）：11-13