基于坐标系与参数方程的高考研究

为研究高考改革的动向,下面以2017年、2018年高考题为研究主体,探究坐标系与参数方程的解题思想。

例1(2017年全国Ⅲ卷理数22)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为为P,当k变化时,P的轨迹方程为曲线C。

(1)写出C的普通方程。

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3：ρ(cosθ+sinθ)-,M为l3与C的交点,求M的极径。

解析：(1)曲线C的方程是l1与l2的交点,故要求曲线C的方程,必须联立l1,l2解方程,但是l1与l2中共有3个参数,故要先去掉一些参数。观察,在l1的方程中可以去掉参数t,得y=k(x-2),在l2的方程中去掉参数m,得要求曲线C的方程,还得把k消掉,最终得到曲线C的方程为x2-y2=4(y≠0)。

(2)题给l3的方程为ρ(cosθ+sinθ)-=0,是极坐标方程,而(1)中所求C的方程为直角坐标系下的普通方程,故考虑把l3转化为直角坐标系方程求解,则l3在直角坐标系下的普通方程为：x+y-=0,联立得而极径

例2(2018年全国Ⅲ卷理数22)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点。

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程。

解析：(1)要求α的取值范围,可考虑在直角坐标系下解答,☉O的直角坐标系下的普通方程为x2+y2=1。当直线斜率不存在时,过点且倾斜角为的直线l即为y轴,显然与圆O有两个交点,故时成立。当直线斜率存在时,设斜率为k,则直线l可设为,则直线l与圆O有两个交点,转化为圆心(0,0)到直线kx-y-的距离小于半径即有两个交点,列式得解得k＞1或k＜-1,所对应的角α的范围为故角α的范围为

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程,考虑利用直角坐标系下的参数方程来解决,故首先应求解直线AB的参数方程,然后找到点P所对应的参数tP,最后把点P所对应的参数tP代入直线AB的参数方程中,即可得到点P所对应的参数方程。

观察上述两题我们发现,考核难度逐年加大,2017年是带两个参数的参数方程转化为直角坐标系下的普通方程,2018年考核直线参数方程中t的几何意义,解决问题的方法更加灵活。处理坐标系和参数方程的题型时,一要熟练掌握课本的基础知识,比如公式之间的转化和各种类型曲线的参数方程,以及参数的几何意义,特别是直线的参数t的几何意义；二要在自己较为熟悉的领域解决问题；三要树立必胜的信心,多练、多总结才能攻克这类题目。