浅析概率的意义

【考点分析】分清必然事件、不可能事件和随机事件,了解概率与频率的关系。大多以大题的形式出现,要求计算事件发生的频率和概率。

例1在下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?

(1)如果a、b都是实数,那么a+b=b+a；

(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张,得到4号签；

(3)没有水分,种子发芽；

(4)某电话总机在60秒内接到至少15次传呼；

(5)在标准大气压下,水的温度达到50℃时沸腾；

(6)同性电荷,相互排斥。

解析：由实数的运算性质可知(1)恒成立,是必然事件,(6)中由物理知识知同性电荷相互排斥,是必然事件,所以(1)(6)是必然事件。没有水分,种子不会发芽,标准大气压下,水的温度达到50℃时不沸腾,(3)(5)是不可能事件。从标有数字1～6的6张号签中取一张可能取到4号签,也可能取不到4号签,电话总机在60秒内可能接到15次传呼,也可能接不到15次传呼,(2)(4)是随机事件。

点评：要判断一个事件是哪种事件,首先要看清条件,条件决定事件的种类和性状,随着条件的改变,其结果也会不同。

例2某种病治愈的概率是0.3,那么前7个人都没有治愈,后3个人一定能治愈吗?如何理解治愈的概率为0.3?

解析：如果把治疗一个病人作为一次试验,“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加,即治疗人数的增加,大约有30%的人能够治愈。对于一次试验来说,其结果是随机的,因此前7个病人没有治愈是可能的,对后3个人来说,其结果仍然是随机的,可能治愈,也可能没有治愈。

治愈的概率是0.3,指如果患病的人有1000人,那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提,就可以认为1000个人中大约有300人能治愈。

点评：正确理解随机事件概率的意义,纠正日常生活中出现的一些错误认识是解决本题的关键。

例3为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2000尾,给每尾鱼做上记号,不影响其存活,然后放回水库、经过适当的时间,让其和水库中的其他鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾,试根据上述数据,估计水库中鱼的尾数。

解析：设水库中鱼的尾数是n(n∈N),现在要估计n的值,假定每尾鱼被捕的可能性是相等的,从水库中任捕一尾鱼,设事件A为“捕到带记号的鱼”,则

第二次从水库中捕出500尾鱼,其中带记号的有40尾,即事件A发生的频率为40,

所以估计水库中的鱼有25000尾。

点评：此类问题主要考查概率与频率的关系及由样本数据估计总体的能力,解题的关键是假定每个样本被抽取的可能性是相等的,可用样本的频率近似估计总体的概率,或由此列出方程,求出较难得到的数据。