图形“说话”：几何直观在小学数学教学中的应用

☉赵维华

拓扑学家张素诚提出：“数学中的许多问题，其灵魂往往来自几何”。几何直观是借助于图形描述，实现对复杂数学问题的形象化展示，便于探究解题思路，预测结果。在小学数学教学中，教师要尽量多借用几何直观，顺应小学生形象化思维特点，来讨论和解决数学问题。数学课堂中的问题，多源于生活实践，对于抽象的数学问题，往往可以从生活中寻找相应的逻辑模型。几何直观作为一种数学教学方法，有助于学生掌握“授人以渔”的方法。

一、从“数与代数”教学中融入几何直观

在数学里，“数”与“代数”是基础。“数”本身是抽象的，与生活实践紧密关联，从“数”中来表示实际事物。同样，对于“代数”也是数形结合思想的重要体现。华罗庚提出：“数以形而直观，形以数而入微”。可见，对“数”的认识，应该让学生从直观化的“形”入手，来增进数学思维意识。在了解了整数后，小数的学习是对“数”概念的延伸，但对于小学生，小数的理解往往更为抽象，不易理解。在数的本质上，小数也是分数的一种特殊形式，也是基于分数概念而构建的。由于学生年龄小，对小数的意义存在理解偏差，使得学生在理解零点几与十分之几、零点几几与百分之几，零点几几几与千分之几等关系时更难。在学习“小数的意义”时，教学的三个关键点有：一是对“1”的认识；二是对小数单位的认识；三是通过直观方法来展示1位小数、2位小数、3位小数。通过对“1”的平分，可以分成10份、100份，1000份，这个过程可以进行形象直观展示，由此得到取其几份，就是整体的几分之几。同样，在对其关键点讲解时，对于十分位与十分之几，百分位与百分之几，千分位与千分之几的认识，我们可以通过小正方体的组合结构，将整体看作单位“1”，如果平分两份，则每份为0.5或者1/2；如果平分10份、100份、1000份，则得到十分之几，百分之几，千分之几。在这个过程中，我们可以让学生自己动手在小正方体上进行涂色，帮助学生理解0.1、0.01、0.001的概念。同样，由此可以延伸0.3、0.5；延伸0.02、0.06，以及0.25、0.35等小数，还可以通过涂色，来认识0.001、0.005，以及0.100、0.150等小数。从而建立一位小数、两位小数、三位小数所对应的零点几、零点几几、零点几几几，以及十分之几、百分之几、千分之几等概念。

二、从“图形与几何”教学中融入几何直观

在小学数学中，“图形与几何”教学模块主要考查学生的空间意识，引导学生培养空间想象、联想能力。在学习图形时，同样可以结合几何方法，引入几何直观教学思路，来展现图形知识，培养学生从中锻炼空间思维。在小学阶段，圆是最先接触的曲边图形，也是教学难点。对于圆的学习，有面积计算方法。圆的面积公式如何进行推导也是教学的重点。在认识圆概念时，我们导入一个特殊的概念“π”，在对圆进行图形直观转化上，很难将之与规则图形建立关联，所以，推导圆的面积，与前期所学的三角形、平行四边形面积具有较大差异。事实上，在对圆面积的延伸学习中，还涉及“有限”与“无限”的概念，也是小学生的认知难点。一些教材在展示圆面积推导公式时，往往通过有限均分，将圆转化为直边图形，但对于分割后剩下的“弧”则并未说明，导致学生疑惑重重。为此，在解决该类问题时，我们要向学生展示“无限”分割的思想，要让学生理解“化曲为直”时所存在的“弧”问题。一方面，我们可以数学多媒体动画，将以动画直观展示将“圆”进行多次均分后，拼接成不同的长方形、三角形、梯形等结构过程；另一方面，我们通过分发学生16块圆的分割图形，让学生自己动手拼图，将其转换为直边图形，从中体会“化曲为直”的过程，再结合多媒体，将圆进行均分32份、64份、128份、1000份等所拼接的图形进行展示，从而让学生认识到，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”的道理。

三、从“概率与统计”教学中融入几何直观

“概率与统计”也是小学数学的重要板块知识，其教学目标在于引领学生学会收集、整理、分析数学信息，了解数据处理的方法。引入几何直观，让学生从生产生活实践中，认识“概率与统计”知识，加深对其理解和应用。如在学习扇形统计图时，从扇形本身可以展示“部分”与“整体”的关系，让学生从“部分”中来获取相关信息，做出判断与决策。扇形统计图是实践中常用的数量关系表示方法，对于扇形统计图，可以将之与圆、按比例分配、百分数等知识进行统筹学习。通过学习扇形统计图，让学生从中认识数学统计的应用。如在某题中，我国的地形具有多样性，各种地形所占总面积的大小可以用如下扇形图来表示。由此，可以快速了解高原、山地、平原、丘陵、盆地等地形所占的比重，增强学生对整体地形结构的全面认识。

四、从“综合与实践”教学中融入几何直观

数学知识的学习在于应用，“综合与实践”就是倡导对学生数学应用能力的培养。我们可以利用几何直观教学，结合具体的数学实际问题，拓展学生的解题思路，让学生能够从直观感受上，重新认识和表征数学问题，将抽象的数学问题解决出来。通常，数学问题中涉及的各类数学符号语言，可以将之与图形、符号进行转换或表征，便于我们进行转化处理，还原数学的本质。在古代《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题，在解决该题的方法有很多，如列表法、按腿法、砍腿法、方程法、作图法等等。由于小学四年级学生未接触方程，对方程法的教学不能用。而采用列举法，涉及的数学计算量较大，也不宜选用。很多教师采用砍腿法、按腿法来计算。但却很少有教师引入几何直观法来解决，忽视对几何直观法的应用。事实上，在小学四年级，学生的形象思维仍占主导，几何直观教学法的应用，也顺应学生形象化思维特点。同时，几何直观本身与鸡兔同笼问题的融合，可以将抽象的数学问题直观化。如我们将线段AB代表鸡的头数量，BC代表兔的头数量，AC代表总头数量，AC=35；FC代表兔的脚数，FC=4；AD代表鸡的脚数，AD=2；由此长方形ACHD面积加上长方形EHFG的面积为总脚数，即SACHD+SEHFG=94。因为SACHD=AC×AD=35×2=70，则SEHFG=94-70=24，再因为FH=CH=2，则EH=24÷2=12；又因为EH=BC，则BC=12。根据前述BC是兔子头数，即有12只兔子；同样，鸡就有35-12=23只。由此，我们借助于几何直观教学思路，将鸡兔同笼问题转换为平面图形边长与面积的关系，让学生能够从图形化展示中直观的解决问题，简化了数学问题，也深刻的理解各个数量关系，锻炼了学生的数学思维力，帮助学生构建起数学知识体系。

五、结语

几何直观作为小学数学教学中的重要思想，对于广大教师而言，还缺失几何直观教学意识，影响几何直观在数学教学中的有效应用。教师要认识到几何直观的重要性，关注数学知识与几何直观的关联，特别是在小学数学中，贴近小学生思维认知实际，深入挖掘几何直观的运用途径，让数学知识脉络更加清晰、直观，启发学生拓展数学思维，感受学习数学的乐趣。几何直观同样对教师也提出了更高要求，教师还要加强专业学习，加强教研与交流，发挥几何直观的教学价值，让数学课堂不再枯燥、固化。